¿Es también$A^2-B^2$ positivo definido cuando$A-B,B$ es positivo definido?

Question

Denotar $A,B\in M_n(\mathbb{R})$
Si $A-B,B$ es positiva definida, es fácil ver que $A^2-B^2$ es simétrica.
Ahora la pregunta es:

Demostrar o refutar: $A^2-B^2$ es positiva definida.

He comprobado con algunos sencillos ejemplos(en su mayoría 2x2), y ahora creo que esto es cierto.
Pero sabemos que aquí $A,B$ no necesariamente viaje.
Traté de escribir $A$ como $A=P^\mathrm{T}P$, y, a continuación, sé que todos los autovalores de a$(P^\mathrm{T})^{-1}BP^{-1}$ todos los laicos, en el intervalo de $(0,1)$.
Otra pregunta que me demuestran que cuando se $A,B$ es positiva definida, $AB+BA$ también puede ser que no positiva definida. Yo no puedo avanzar. Sugerencia será apreciado.

Answer 1

Para la primera pregunta, intente: $$ A = \pmatrix{2 & 1\cr 1 & 7\cr},\ B = \pmatrix{1 & -1\cr -1 & 2\cr} $ $

Para el segundo,

PS