Mientras discutía sobre números primos con otros usuarios, me di cuenta de que:
$(1)$ Hay muy pocas parejas de números primos palindrómicos que no contengan la cifra $1$ y que tienen productos que son palíndromos.
Ex : $[2, 3], [2, 30203], [2, 30403]$
$(2)$ Para el rango grande que se probó en PARI/GP, observé que todos los números primos palindrómicos que daban productos palindrómicos estaban compuestos sólo por los dígitos $0, 2, 3, 4$
$(3)$ Los primos palindrómicos de estos pares son iguales a $2$ o siempre existen en el rango de $3 \times 10^k$ a $4 \times 10^k$ donde $k \in \Bbb{+Z}, 0$
Usuario Peter me ayudó a obtener los siguientes resultados para $a, b \lt 10^7$ en PARI/GP:
[2, 3]
[2, 30203]
[2, 30403]
[2, 32323]
[2, 32423]
[2, 3002003]
[2, 3222223]
[2, 3223223]
[2, 3233323]
[2, 3304033]
[2, 3343433]
[2, 3400043]
[2, 3424243]
[2, 3443443]
[2, 3444443]
[3, 30203]
[3, 32323]
[3, 3002003]
[3, 3222223]
[3, 3223223]
[3, 3233323]
[30203, 3002003]Preguntas:
(1) ¿Existe un número finito de pares de $a, b$ donde $a, b$ son primos palindrómicos que no contienen la cifra $1$ y $ab$ ¿es un palíndromo?
(2) ¿Están todos los primos palindrómicos que dieron productos palindrómicos compuestos sólo por los dígitos $0, 2, 3, 4$ ?
(3) ¿Son todos los primos palindrómicos de estos pares iguales a $2$ o siempre existen en el rango de $3 \times 10^k$ a $4 \times 10^k$ donde $k \in \Bbb{+Z}, 0$ ?
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Sospecho que la respuesta a (1) es no, pero no tengo pruebas. Nótese que (2) implica (3) porque los primos mayores que $2$ no puede terminar en $2$ . En cuanto a (2), no creo que esta propiedad sea realmente particular de los palíndromos primos. En particular, parece que si $a$ y $b$ son palíndromos que no contienen $1$ y no son divisibles por $11$ y $a\cdot b$ es un palíndromo, entonces $a$ y $b$ constan únicamente de los dígitos $0, 2, 3, 4$ . Además, si uno de ellos contiene la cifra $4$ y la otra consiste únicamente en $0$ y $2$ . Se basa en código Python que busca dichos pares.
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@kccu Estoy de acuerdo, y he llegado a conclusiones similares sin pruebas. Si se escribe como una multiplicación larga, cualquier acarreo en el cálculo parece implicar un producto palíndromo de dos palíndromos es imposible, que a su vez implica sólo dígitos $0,2,3,4$ aparecer. No se sabe si existen infinitos primos palindrómicos, o si existen infinitos primos que contengan sólo dígitos restringidos, como sólo $0,2,3,4$ . Por lo tanto, si (2) es cierto, demostrar (1) negativamente (es decir, que existen infinitos pares de este tipo) es ciertamente difícil.
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Es decir, busca términos de A046376 cuyos factores primos no contengan el dígito $1$ . (Primero factoricé $1000$ términos a partir de ahí y consiguió estos ).
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Creo que esta es la causa: $$aba\cdot cdc=a\cdot c\cdot 10000+(a\cdot d+ c\cdot b)\cdot 1000+2\cdot a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+ c\cdot b)\cdot 10+a\cdot c$$