Integrales CAS de funciones discontinuas

Question

Fondo

Este post está motivado por mi interés en el rendimiento de los integradores simbólicos en sistemas de álgebra computacional (CAS), como Mathematica (MMA).

He descubierto que, cuando un integrando tiene discontinuidades, la integral indefinida que devuelve MMA a menudo tiene discontinuidades que no coinciden con las del propio integrando (es decir, se producen en puntos diferentes del dominio). He aquí un ejemplo tomado de un blog de WRI (Wolfram Research Institute, el creador de MMA) ( https://blog.wolfram.com/2008/01/19/mathematica-and-the-fundamental-theorem-of-calculus/ ):

Considera el integrando: $$f(x) = \frac{1}{4 \sin (x)+5}$$

$f$ es continua en los reales, pero tiene polos en el plano complejo en $x = \pi (2 n-\frac{1}{2}) \pm i \ln(2)$ donde $n \in Z$ .

MMA devuelve la siguiente integral indefinida:

$$F_1(x)=\frac{1}{3} \left(\tan ^{-1}\left(2-\frac{3}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)+2}\right)-\tan^{-1}\left(2-\frac{3}{\cot \left(\frac{x}{2}\right)+2}\right)\right)$$

En $f$ es continua en los reales, $F_1$ no lo es. Por comparación, la siguiente integral indefinida es continua en los reales (véase la imagen de abajo):

$$F_2(x) = \frac{x}{3}+\frac{2}{3} \tan^{-1}\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)+2}\right)$$

Como explica el autor del blog, $F_1$ y $F_2$ difieren en una constante a trozos.

[Curiosamente, Rubi ( https://rulebasedintegration.org ), desarrollado por Albert Rich, y disponible como paquete de integración adicional para MMA, devuelve $F_2$ .]

Un mensaje implícito del blog parece ser que $F_1$ en los reales no lo convierten en un resultado inferior a $F_2$ ya que si el integrando tiene discontinuidades, las discontinuidades en alguna parte de la antiderivada son inevitables: "Además, si un integrando meromorfo $h(z)$ tiene polos simples en el plano complejo, es imposible elegir una antiderivada $\mathcal{H}(z)$ continua a lo largo de cualquier trayectoria imaginable en el plano complejo, debido a los cortes de rama en $\mathcal{H}(z)$ ."

En concreto, el autor explica que mientras $F_1$ puede tener discontinuidades en los reales que no están presentes en $F_2$ , $F_2$ tiene discontinuidades en otras partes del plano complejo que no están presentes en $F_1$ . Por ejemplo, demuestra que $F_2$ tiene una discontinuidad en $x = \frac{3}{2} + i \ln(2)$ mientras que $F_1$ no lo hace. Es decir, hay que pagar en algún sitio.

Sin embargo (y esto es lo que motiva mis preguntas), no estoy de acuerdo con ese mensaje (que $F_1$ y $F_2$ son equivalentes porque ambos tienen discontinuidades). En cambio, creo que es funcionalmente superior tener una antiderivada cuyas discontinuidades ocurran sólo donde también hay discontinuidades en el integrando. Por ejemplo, si el integrando es continuo en los reales, es conveniente tener una antiderivada que sea igualmente continua a lo largo de los reales, para no tener que hacer una integración a trozos allí. [Nótese también que $F_2$ en la discontinuidad de $x = \frac{3}{2} + i \ln(2)$ coincide con la de $f$ .]

Preguntas

[Nota: Basándome en la respuesta de Robert Israel, he editado mi pregunta para mejorarla].

Según tengo entendido, si un integrando tiene cierto tipo de discontinuidades, no se pueden evitar las discontinuidades en sus antiderivadas.

Además, no todas las funciones tienen una antiderivada. Pero..: Supongamos que tenemos un integrando discontinuo para el que no puede existir una antiderivada continua en todas partes (debido a la naturaleza de las discontinuidades en el integrando) (por ejemplo $f$ arriba). Supongamos además que existe una antiderivada no por partes (es decir, una con una única forma funcional) para este integrando, pero que tiene discontinuidades que no coinciden con las del integrando (por ejemplo, $F_1$ ). En tales casos, ¿debe existir también una antiderivada no parcelaria cuyas discontinuidades sí coincidan con las localizaciones de las del integrando (por ejemplo, $F_2$ )?

Por ejemplo, considere el integrando: $$g(x) = \frac{x^2+1}{\left(1-x^2\right) \sqrt{x^4+x^2+1}}$$

Este integrando es discontinuo sobre los reales, pero es posible encontrar una antiderivada, $G(x)$ (generado por Rubi), cuyas discontinuidades se producen en los mismos lugares (en $x=-1$ y $x=1$ ):

$$G(x)=\frac{\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{x^4+x^2+1}}\right)}{\sqrt{3}}$$

Ahora, por el contrario, considera el integrando:

$$h(x)=\frac{(2 \sec (4 x+3)+1)^{3/2}}{\sqrt{\cos (4 x+3)}}$$

para la que Rubi genera la siguiente antiderivada (la antiderivada de MMA no es de valor real en los reales); creo que $F$ , $E$ y $\Pi$ son integrales elípticas incompletas de primer, segundo y tercer tipo, respectivamente:

A diferencia de lo que ocurre con $G(x)$ , $H(x)$ tiene discontinuidades en los reales que no están presentes en su integrando (por ejemplo, en $x = \frac{(\pi -3)}{4}$ ):

Dado lo anterior, ¿debería existir otra antiderivada de valor real de $h$ que, al menos en los reales, tiene discontinuidades que corresponden a las de $h$ ?

También tengo la siguiente pregunta auxiliar:

La cita del autor del blog del WRI menciona los "polos simples". Pero a mí me preocupan las discontinuidades en general, es decir, cualquier cosa que requiera una integración a trozos. Así que me pregunto si su declaración se puede generalizar / reformulado a algo como: "Si un integrando tiene uno o más discontinuidades es imposible elegir una sola antiderivada que sea continua en todas partes".

Answer 1

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, si el integrando $f(x)$ es continua en un intervalo $(a,b)$ existe una antiderivada continua en ese intervalo, por ejemplo $\int_c^x f(t)\; dt$ donde $a < c < b$ . Encontrar una expresión para ello en un CAS es otra cuestión.

En es posible para una función discontinua $f(x)$ para tener una antiderivada continua. Por ejemplo, consideremos $$f(x) = \cases{2x \sin(1/x) - \cos(1/x) & for $ x \ne 0 $\cr 0 & for $ x=0 $} $$ que tiene antiderivada $$ F(x) = \cases{x^2 \sin(1/x) & for $ x \ne 0 $\cr 0 & for $ x=0 $\cr}$$

EDIT: Mi primer párrafo dice que se pueden evitar las antiderivadas cuyos "lugares de discontinuidad no coincidan con los del integrando". Tal vez le ayudará a mirar a su ejemplo $$\frac{(2 \sec(4x+3)+1)^{3/2}}{\sqrt{\cos(4x+3)}}$$ que, con el cambio de variables $4x+3=t$ se convierte en $$ \frac{(2 \sec(t)+1)^{3/2}}{\sqrt{\cos(t)}}$$ Que es continua en cada intervalo de la forma $((2k-1)\pi/2, (2k+1)\pi/2)$ . Por lo tanto, debe tener una antiderivada continua en cada uno de estos intervalos (como he escrito, encontrar una forma cerrada para dicha antiderivada es otra cuestión). Como el integrando es indefinido en los múltiplos Impares de $\pi/2$ donde $\cos(t) = 0$ , el la antiderivada tampoco tiene que estar definida allí, y como el integrando tiene una singularidad no integrable allí la antiderivada también irá a $\pm \infty$ como $t$ se acerca a esos puntos.