Integrales CAS de funciones discontinuas

Question

Antecedentes

Esta publicación está motivada por mi interés en el rendimiento de los integradores simbólicos en los sistemas de álgebra computacional (CAS), como Mathematica (MMA).

He encontrado que, cuando un integrando tiene discontinuidades, la integral indefinida devuelta por MMA a menudo tiene discontinuidades que no coinciden con las ubicaciones en el integrando mismo (es decir, ocurren en puntos diferentes en el dominio). Aquí hay un ejemplo tomado de un blog de WRI (Wolfram Research Institute, el fabricante de MMA) (https://blog.wolfram.com/2008/01/19/mathematica-and-the-fundamental-theorem-of-calculus/):

Considere el integrando: $$f(x) = \frac{1}{4 \sin (x)+5}$$

$f$ es continua sobre los reales, pero tiene polos en el plano complejo en $x = \pi (2 n-\frac{1}{2}) \pm i \ln(2)$, donde $n \in Z$.

MMA devuelve la siguiente integral indefinida:

$$F_1(x)=\frac{1}{3} \left(\tan ^{-1}\left(2-\frac{3}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)+2}\right)-\tan^{-1}\left(2-\frac{3}{\cot \left(\frac{x}{2}\right)+2}\right)\right)$$

Mientras que $f$ es continua en los reales, $F_1$ no lo es. En comparación, la siguiente integral indefinida es continua en los reales (ver imagen a continuación):

$$F_2(x) = \frac{x}{3}+\frac{2}{3} \tan^{-1}\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)+2}\right)$$

Como explica el autor del blog, $F_1$ y $F_2$ difieren por una constante en partes.

[Curiosamente, Rubi (https://rulebasedintegration.org), desarrollado por Albert Rich, y disponible como paquete de integración complementario para MMA, sí devuelve $F_2$.]

Un mensaje implícito del blog parece ser que las discontinuidades en los reales de $F_1$ no lo convierten en un resultado inferior a $F_2$, ya que si el integrando tiene discontinuidades, las discontinuidades en algún lugar en la antiderivada son inevitables: "Además, si un integrando meromórfico $h(z)$ tiene polos simples en el plano complejo, es imposible elegir una antiderivada $\mathcal{H}(z)$ continua a lo largo de cada camino imaginable en el plano complejo, debido a los cortes en $\mathcal{H}(z)$."

Específicamente, el autor explica que aunque $F_1$ puede tener discontinuidades en los reales que no están presentes en $F_2$, $F_2$ tiene discontinuidades en otros lugares del plano complejo que no están presentes en $F_1$. Por ejemplo, muestra que $F_2$ tiene una discontinuidad en $x = \frac{3}{2} + i \ln(2)$, mientras que $F_1$ no la tiene. Es decir, debes pagar en algún lugar.

Sin embargo (y esto es lo que motiva mis preguntas), no estoy de acuerdo con ese mensaje (que $F_1$ y $F_2$ son equivalentes porque ambos tienen discontinuidades). En cambio, creo que es funcionalmente superior tener una antiderivada cuyas discontinuidades ocurren solo donde también hay discontinuidades en el integrando. Por ejemplo, si el integrando es continuo en los reales, es conveniente tener una antiderivada que también sea continua a lo largo de los reales, para no tener que hacer una integración por partes allí. [También ten en cuenta que la discontinuidad de $F_2$ en $x = \frac{3}{2} + i \ln(2)$ coincide con la de $f$.]

Preguntas

[Nota: Basándome en la respuesta de Robert Israel, he editado mi pregunta para mejorarla.]

Según entiendo, si un integrando tiene ciertos tipos de discontinuidades, no se pueden evitar las discontinuidades en sus antiderivadas.

Además, no todas las funciones tienen una antiderivada. Pero: Supongamos que tenemos un integrando discontinuo para el cual no puede existir en todas partes una antiderivada continua (debido a la naturaleza de las discontinuidades en el integrando) (como $f$, anteriormente). Supongamos además que existe una antiderivada no por partes (es decir, con una sola forma funcional) para este integrando, pero que tiene discontinuidades que no coinciden con las del integrando (por ejemplo, $F_1$). ¿En tales casos debe existir también una antiderivada no por partes cuyas discontinuidades coincidan con las ubicaciones de las del integrando (por ejemplo, $F_2$)?

Por ejemplo, considera el integrando: $$g(x) = \frac{x^2+1}{\left(1-x^2\right) \sqrt{x^4+x^2+1}}$$

Este integrando es discontinuo sobre los reales, sin embargo, es posible encontrar una antiderivada, $G(x)$ (generada por Rubi), cuyas discontinuidades ocurren en las mismas ubicaciones (en $x=-1$ y $x=1$):

$$G(x)=\frac{\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{x^4+x^2+1}}\right)}{\sqrt{3}}$$

Ahora, en contraste, considera el integrando:

$$h(x)=\frac{(2 \sec (4 x+3)+1)^{3/2}}{\sqrt{\cos (4 x+3)}}$$

para el cual Rubi genera la siguiente antiderivada (la antiderivada de MMA no es real en los reales); creo que $F$, $E$, y $\Pi$ son integrales elípticas incompletas de primer, segundo y tercer tipo, respectivamente:

A diferencia del caso con $G(x)$, $H(x)$ tiene discontinuidades en los reales que no están presentes en su integrando (por ejemplo, en $x = \frac{(\pi -3)}{4}$):

Dado lo anterior, ¿debería existir otra antiderivada real de $h$ que, al menos en los reales, tenga discontinuidades que correspondan a las de $h$?

También tengo la siguiente pregunta auxiliar:

La cita del autor del blog de WRI menciona "polos simples". Pero me preocupa con las discontinuidades en general, es decir, con cualquier cosa que requiera una integración por partes. Por lo tanto, me pregunto si su afirmación se puede generalizar/reformular a algo así: "Si un integrando tiene una o más discontinuidades, es imposible elegir una sola antiderivada que sea continua en todas partes."

Answer 1

Según el Teorema Fundamental del Cálculo, si el integrando $f(x)$ es continuo en un intervalo $(a,b)$, existe una antiderivada continua en ese intervalo, por ejemplo $\int_c^x f(t)\; dt$ donde $a < c < b$. Encontrar una expresión para ella en un CAS es otra cuestión.

Es posible que una función discontinua $f(x)$ tenga una antiderivada continua. Por ejemplo, considera $$f(x) = \cases{2x \sin(1/x) - \cos(1/x) & para $x \ne 0$\cr 0 & para $x=0$}$$ que tiene antiderivada $$F(x) = \cases{x^2 \sin(1/x) & para $x \ne 0$\cr 0 & para $x=0$\cr}$$

EDIT: Mi primer párrafo dice que se pueden evitar antiderivadas cuyas "ubicaciones de discontinuidad no coinciden con el integrando". Quizás ayude mirar tu ejemplo $$\frac{(2 \sec(4x+3)+1)^{3/2}}{\sqrt{\cos(4x+3)}}$$ que, con el cambio de variables $4x+3=t$, se convierte en $$\frac{(2 \sec(t)+1)^{3/2}}{\sqrt{\cos(t)}}$$ Eso es continuo en cada intervalo de la forma $((2k-1)\pi/2, (2k+1)\pi/2)$. Por lo tanto, debe tener una antiderivada continua en cada uno de estos intervalos (como escribí, encontrar una forma cerrada para tal antiderivada es otra cuestión). Dado que el integrando es indefinido en los múltiplos impares de $\pi/2$ donde $\cos(t) = 0$, la antiderivada tampoco tiene que estar definida allí, y dado que el integrando tiene una singularidad no integrable allí, la antiderivada también irá a $\pm \infty$ a medida que $t$ se acerque esos puntos.