$\mathbb{Q}^{alg}[[a,b]] $ no es elemental equivalente a$\mathbb{C}[[a,b]]$, y lo mismo para$\mathbb{Q}^{alg}[a]$ y$\mathbb{C}[a]$?

Question

Desde ACF es completa, $\mathbb{Q}^{\text{alg}}$ es elemental equivalente a $\mathbb{C}$, y por Ax-Kochen $\mathbb{Q}^{\text{alg}}[[a]]$ es elemental equivalente a $\mathbb{C}[[a]]$. Pero, ¿cómo debo mostrar que $\mathbb{Q}^{\text{alg}}[[a,b]] $ no es elemental equivalente a $\mathbb{C}[[a,b]]$ y también se $\mathbb{Q}^{\text{alg}}[a]$ no es elemental equivalente a $\mathbb{C}[a] $?

Answer 1

Mi go-to de referencia para este tipo de preguntas es el libro Modelo Teórico de Álgebra por Jensen y Lenzing.

A la pregunta de cómo probar que $\mathbb{Q}^{\text{alg}}[a]$ e $\mathbb{C}[a]$ no elementarily equivalente ha sido preguntado antes en este sitio. Es Ejemplo 3.12 en Jensen y Lenzing, y es precedida por una prueba plena, que he resumido en mi respuesta a la pregunta vinculada.

Comentario 3.39 en Jensen y Lenzing estados que $\mathbb{Q}^{\text{alg}}((x_1,\dots,x_n))$ e $\mathbb{C}((x_1,\dots,x_n))$ no elementarily equivalente para cualquier $n>1$. Ellos no lo demuestran, pero dan una referencia al papel Indécidabilité de la théorie des anneaux de séries formelles à plusieurs indéterminées por Françoise Delon. El hecho de que $\mathbb{Q}^{\text{alg}}[[a,b]]$ e $\mathbb{C}[[a,b]]$ no elementarily equivalente se sigue inmediatamente, ya que el cociente de los campos de $\mathbb{Q}^{\text{alg}}((a,b))$ e $\mathbb{C}((a,b))$ son interpretables en el poder de la serie de anillos.