Desambiguación Derivada Parcial

Question

Hay al menos dos sustancialmente diferentes significados a $\frac{\partial}{\partial x}f(x,\ y,\ z(x))$. El $\partial x$ podría significar "con respecto a $x$ la variable independiente," o podría significar "con respecto a las $x$ el primer parámetro de $f$." Creo que esto puede ser comprendido a la luz de un ingreso neto de cálculo. Supongamos $x$ es un individuo imponible los ingresos brutos, $y$ es su no imponible los ingresos brutos (los dones recibidos, etc.), $z$ es de su impuesto sobre la renta, y $f$ es su ingreso neto, todo el mismo año. Desde el ingreso neto depende imponible los ingresos brutos, no imponible los ingresos brutos e impuesto a la renta, dado por $f = x + y - z$, y el impuesto sobre la renta depende imponible los ingresos brutos, dado por $z = .15x$ (con un solo un 15% de impuestos por simplicidad), podemos escribir la ecuación total como $f(x,\ y,\ z(x)) = x + y - z(x)$ donde $z(x) = .15x$, y luego considerar el significado de la $\frac{\partial}{\partial x}f(x,\ y,\ z(x))$.

Si interpretamos $\partial x$ a significar "con respecto a $x$ la variable independiente", a continuación, $\frac{\partial}{\partial x}f(x,\ y,\ z(x))$ representa el cambio en el ingreso neto relativos a un reporte de cambio en la imponible los ingresos brutos, mientras que si interpretamos $\partial x$ a significar "con respecto a la $x$ el primer parámetro de $f$," a continuación, $\frac{\partial}{\partial x}f(x,\ y,\ z(x))$ representa el cambio en el ingreso neto en relación a una no declarada cambio en la imponible los ingresos brutos.

Me han dado, así como he aprendido, un binario explicación de esta diferencia. El $\partial x$ hace referencia a una variable independiente o un parámetro de $f$. Mi pregunta es si es aceptable para referirse a algo en el medio. Vamos a asignar un nuevo color para el contenido de cada capa anidada de una función entre paréntesis, por lo que el ejemplo anterior se convierte en $f(\color{blue}{\textrm{x, y, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{blue}{\textrm{)}})$. Esto permite desambiguar las cosas por lo que nos permite referirse a los cambios en la utilidad neta en relación a informó de un cambio en la imponible los ingresos brutos con $\frac{\partial}{\partial \color{tan}{\textrm{x}}}f(\color{blue}{\textrm{x, y, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{blue}{\textrm{)}})$ y el cambio en la utilidad neta en relación a una no declarada cambio en la imponible los ingresos brutos con $\frac{\partial}{\partial \color{blue}{\textrm{x}}}f(\color{blue}{\textrm{x, y, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{blue}{\textrm{)}})$. Creo que los colores son menos engañosa que los subíndices en este caso, debido a que $\color{tan}{\textrm{x}}$ e $\color{blue}{\textrm{x}}$ son los mismos algebraica de la entidad; es sólo que cuando el cálculo se come una expresión algebraica y escupe una nueva, a veces mastica hasta el dos $x$'s un poco diferente.

Con esta configuración, la cuestión se puede plantear muy sucintamente; $\frac{\partial}{\partial x}f(x,\ y,\ z(x),\ a(x,\ z(x)), b(x,\ z(x))$ también decir $\frac{\partial}{\partial \color{orange}{\textrm{x}}}f(\color{blue}{\textrm{x, y, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{blue}{\textrm{), a(}}\color{orange}{\textrm{x, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{orange}{\textrm{)}}\color{blue}{\textrm{), b(}}\color{orange}{\textrm{x, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{orange}{\textrm{)}}\color{blue}{\textrm{)}}$ y/o $\frac{\partial}{\partial \color{lime}{\textrm{x}}}f(\color{blue}{\textrm{x, y, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{blue}{\textrm{), a(}}\color{lime}{\textrm{x, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{lime}{\textrm{)}}\color{blue}{\textrm{), b(}}\color{red}{\textrm{x, z(}}\color{tan}{\textrm{x}}\color{red}{\textrm{)}}\color{blue}{\textrm{)}}$, y/o tener algún otro significado dibujado a través de un color similar jerarquía, o es una derivada parcial no puede ser tomada con respecto a naranja o verde (o rojo) $x$, ya que no son independientes de las variables ni los parámetros de $f$?

Answer 1

Hay al menos dos sustancialmente diferentes significados a $\frac{\partial}{\partial x}f(x, y, z(x))$.

No, no hay. O, al menos, este no debería ser el caso.

Tomar dos funciones diferenciables $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

La notación $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,g(x))$ debe ser entendido como la diferenciación de la función de $(x,y)\mapsto f(x,y,g(x))$ con respecto a cada ocurrencia de $x$. I. e., por el multivariable chainrule:

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,g(x)) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) + \frac{\partial}{\partial z}f(x,y,z)\cdot\frac{\partial}{\partial x}g(x)$$

Si se quiere diferenciar $f$ con respecto al primer argumento, manteniendo los otros fijos, a continuación, sólo escribir

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z)$$

y si quieres componer $g$ con el tercer argumento de $f$, y luego se diferencian esta composición con respecto al argumento de $g$, sólo tiene que escribir

$$\frac{\partial}{\partial a}f(x,y,g(a))$$ que por el chainrule es igual a $\frac{\partial}{\partial z}f(x,y,z) \cdot \frac{\partial}{\partial a}g(a)$.

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De todos modos

Notación de Leibniz es muy susceptible a malentendidos y ambigüedades como las que usted ha señalado, y por esta razón siempre me desaconsejan su uso. La notación $D_if$ a la media de la derivada de la función $f$ con respecto al $i$th entrada es perfectamente claro.

Answer 2

Aquí nos fijamos en una ubicación conveniente para la situación actual que muestra que no hay disambiguity al hacer la derivada parcial.

Consideramos que una diferenciable multivariante de la función \begin{align*} &f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\\ &(u,w,z)\to f(u,w,z) \end{align*} y nos vamos a las variables $u,w,z$ ser reales-valores de funciones diferenciables en $x$ \begin{align*} &x\to u(x)\\ &x\to w(x)\\ &x\to z(x) \end{align*}

Esta es una configuración general para el caso actual \begin{align*} f(x,y,z(x)) \end{align*} donde

• $u(x)=x$ es la función identidad,

• $w(x)=y$ es la función constante $y$ y

• $z(x)$ es un valor real función derivable en a$x$.

Con el fin de obtener $\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z(x))$ calculamos el total de derivados \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}&f(u(x),w(x),z(x))\\ &=f_uu^{\prime}(x)+f_ww^{\prime}(x)+f_zz^{\prime}(x)\tag{1} \end{align*}

Veamos un ejemplo, por ejemplo \begin{align*} f(u,w,z)&=3uw+z^2\\ u(x)&=x\\ w(x)&=y\\ z(x) \end{align*}

Calculamos el total de derivados de acuerdo a (1) y obtener \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}&f(u(x),w(x),z(x))\\ &=f_uu^{\prime}(x)+f_ww^{\prime}(x)+f_zz^{\prime}(x)\\ &=3w(x)u^{\prime}(x)+3u(x)w^{\prime}(x)+2z(x)z^{\prime}(x)\\ &=3y\cdot 1+3x\cdot 0+2z(z)z^{\prime}(x)\\ &\,\,\color{blue}{=3y+2z(x)z^{\prime}(x)}\tag{2} \end{align*} Por otro lado, nos reemplazar todos los argumentos $u,w,z$ de $f$ por las funciones subyacentes en $x$ y obtener \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}&f(u(x),w(x),z(x))\\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(3u(x)w(x)+\left(z(x)\right)^2\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(3xy+\left(z(x)\right)^2\right)\\ &\,\,\color{blue}{=3y+2z(x)z^{\prime}(x)}\tag{3} \end{align*}

Observamos (2) y (3) coinciden que muestra cómo calcular la derivada parcial.

Cuando se mira en una función más compleja, como \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z(x),a(x,z(x)),b(x,z(x))) \end{align*} podemos hacer el cálculo de la misma forma que anteriormente, es decir, teniendo en cuenta

\begin{align*} &f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}\\ &(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)\to f(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)\\ &u_1(x)=x\\ &u_2(x)=y\\ &u_3(x)=z(x)\\ &u_4(x)=a(v_1(x),v_2(x))\\ &\qquad v_1(x)=x\\ &\qquad v_2(x)=z(x)\\ &u_5(x)=b(w_1(x),w_2(x))\\ &\qquad w_1(x)=x\\ &\qquad w_2(x)=z(x) \end{align*} y continuando del mismo modo como en el anterior, aunque los cálculos son ahora hay que reconocer que algo más engorroso.

Answer 3

Si usted paremetrize z en términos de x, $z(x)$, a continuación, $f(x,y,z(x))$ es en realidad una función en x & y, $f(x,y)$. tomando un $\partial _xf(x,y)=\partial _xf(x,y,z(x))$ si se definen $\partial _xf(x,y,z(x))$ "tomando la derivada con respecto a (wrt) x y no z(x)" + $\partial _zf(x,y,z(x))z'(x)$. Pero después de todo, creo que es una convención, ya que la definición de $\partial_x$ "tomando la derivada respecto de x y no de z(x)" puede ser útil.