¿Todos los subgrupos de un grupo abeliano tienen que ser abelianos?

Question

Mi problema original es mostrar que E/L es un abelian extensión de más de L y L/F es una abelian extensión de más de F, dado que la E/F es una abelian extensión de más de F y que L es una extensión normal de F, tal que $F\subseteq L \subseteq E$.

Hasta el momento me han demostrado que E es una extensión normal de F, E es una extensión normal de L, y L es una extensión normal de F. sé que para probar abelian extensión también debo demostrar que Gal(E/L) es un grupo abelian. Me han demostrado que Gal(E/L) $\subseteq$ Gal (E/F). En mi mente es lógico que no puedo perder conmutatividad por lo tanto mi subgrupo debe ser Abelian demasiado. ¿Cómo puedo mostrar esto en una prueba? Es suficiente para demostrar que hay dos elementos en el subgrupo también debe existir en el grupo más grande y que deben ser conmutativa en el grupo más grande? Me siento como sé lo que tengo que hacer, no solo la forma de frase.

Answer 1

Eh, divertido, solo fuimos más de esto hoy en mi clase de álgebra.

Sí, los subgrupos de abelian grupos son de hecho abelian, y su proceso de pensamiento tiene la idea correcta.

Mostrando esto es bastante fácil. Tome un grupo abelian $G$ con los subgrupos $H$. Entonces sabemos que, para todos los $a,b\in H$, $ab=ba$ ya que también debe tener en $G$ (como $a,b \in G \ge H$ e $G$ es dada para ser abelian).

Answer 2

Si $G$ es un grupo abeliano y $H$ es un subgrupo, supongamos que $x, y\in H$ . Luego, en particular, $x, y\in G$ , así que $xy=yx$ . Como $x, y$ era arbitrario, $H$ es abelian.