Prueba geométrica simple de círculos de intersección

Question

El siguiente problema ha estado molestando bastante tiempo. Supongo que hay un vacío en mi escuela el conocimiento de la geometría, pero no sé cómo demostrar que:

Probar o refutar que dadas dos circunferencias con centros de $O_1, O_2$ en el mismo radio $r$, que se intersecan en dos puntos de $A, B$, la intersección de los círculos está totalmente contenida en el círculo con el centro $M$ en el punto medio de la línea de $O_1O_2$ y radio de $AM$.

En la imagen de abajo: $M$ sería el origen, y $A$ e $B$ son dos puntos, donde los círculos se intersectan. El círculo deseado que se supone que contiene la intersección está marcada en verde.

Answer 1

Creo que una posible forma de abordar esto es para demostrar que las líneas que constituyen el área de la intersección de los dos círculos están dentro de la que se derivan del círculo. Así que la lógica sería que, si las dos curvas están dentro del círculo, la intersección es el contenido; de lo contrario, no lo es.

Con la ayuda del sistema de coordenadas, y para simplificar el cálculo, se pueden dibujar dos círculos como lo hizo, donde los centros están en la $x$-eje, ambos círculos son simétricos alrededor de $y$-eje, con radio individual se $r$, y la distancia entre los dos radios ser $d$. Podemos obtener tres funciones para cada uno de los círculos: $$(x+a)^2+y^2=r^2$$ $$(x-a)^2+y^2=r^2$$ $$x^2+y^2=r^2-a^2$$

A partir de las tres ecuaciones, podemos comparar el $x$ valor de estas tres funciones para $-\sqrt{r^2-a^2}≤y≤\sqrt{r^2-a^2}$, y entonces es fácil ver que las dos curvas están entre los dos la mitad de los círculos, es decir, las dos curvas están contenidas en el círculo. Así que la intersección está contenida en el círculo.