Si , , demostrar eso

Question

Deje que $f:[0,1) \to \mathbb{R}$ sea una función tal que $$f(x)f(y)+f(xy)\le -\dfrac{1}{4} \quad \forall\, x,y\in[0,1).$ $

Muestra que $$f(x)=-\dfrac{1}{2} \quad \forall\, x \in[0,1).$ $

He demostrado que $f(0)=-\dfrac{1}{2}$ : si $x=y=0$ , tenemos $$f^2(0)+f(0)\le-\dfrac{1}{4}\Longrightarrow \left( f(0)+\frac{1}{2} \right)^2\le 0\Longrightarrow f(0)=-\dfrac{1}{2}.$ $

Pero no puedo demostrar que $f(x)$ sea constante. Gracias.

Answer 1

Conectar $y=0$ da $f(x) \ge -\frac{1}{2}$ por cada $x$.

Deje $y=x$ conseguir $f(x)^2+f(x^2) \le -\frac{1}{4}$. Esto implica $f(x^2) \le -\frac{1}{4}$ por cada $x$, y por lo $f(x) \le -\frac{1}{4}$ por cada $x$. Pero, a continuación, $f(x)^2+f(x^2) \le -\frac{1}{4}$ implica $f(x^2) \le -\frac{1}{4}-(\frac{1}{4})^2 = -\frac{5}{16}$, y por lo $f(x) \le -\frac{5}{16}$ por cada $x$. Haciendo esto, de nuevo, da $f(x) \le -\frac{1}{4}-(\frac{5}{16})^2 = -\frac{89}{256}$ por cada $x$. Si seguimos haciendo esto, vemos que, para cualquier $\epsilon > 0$, $f(x) \le -(\frac{1}{2}-\epsilon)$ por cada $x$. Por lo tanto, $f(x) \le -\frac{1}{2}$ por cada $x$.