Dejemos que $\sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^ny_i= \pi$ , donde $n>1$ y $x_i >0 , y_i>0 , \forall i=1,2,..,n$ . ¿Cómo podemos demostrar que $$\sum_{i=1}^n \frac{\cos y_i}{\sin x_i} \sum_{i=1}^n\cot x_i $$ ?
Respuesta
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Shakespeare
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Resulta que si vamos a utilizar multiplicadores lagrangianos es mejor mantenerlo totalmente simple.
Dejemos que $f(y_1,...,y_n,\lambda)=\sum_{i=1}^n \frac{\cos y_i}{\sin x_i} - \lambda(( \sum_{i=1}^n y_i) -\pi)$ . $\sum_{i=1}^n \frac{\cos y_i}{\sin x_i}$ extremista cuando $\nabla f = 0$ .
$\frac {\partial f}{\partial y_i}=0 <=> -\frac {\sin y_i}{\sin x_i}-\lambda=0 <=> \sin y_i=-\lambda \sin x_i$ $\forall i$ .
Utilizando el hecho de que $\sum_{i=1}^n y_i= \sum_{i=1}^n x_i= \pi$ obtenemos $\lambda=-1$ y $y_i=x_i$ como el extremo. Podemos comprobar rápidamente que se trata de un máximo, por lo que la desigualdad se cumple con igualdad si $y_i = x_i$ $\forall i$ .
