Para las funciones $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ y $x\in\mathbb{R}$ defina $$F(fg)=\int\limits_{1}^{x}f(t)g(t)dt$$ If $ a (x), b (x), c (x), d (x)$ are real polynomials show that $ F ( ac) F (bd) -F (ad) F (bc)$ is always divisible by $ (x-1) ^ 4 $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
J.Doe
Puntos
31
Vamos \begin{equation} P(x)= F(ac)\,F(bd)-F(ad)\,F(bc) \end{equation}
Tenga en cuenta que, $P(x)$ es un polinomio real. También podemos escribir la ecuación de $P(x)= F(ac)\,F(bd)-F(ad)\,F(bc)$ determinantes de la forma de la siguiente manera $$P(x)=\begin{vmatrix} F(ac) & F(ad) \\ F(bc) & F(bd) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \displaystyle\int\limits_{1}^{x}a(t)c(t)\,dt & \displaystyle\int\limits_{1}^{x}a(t)d(t)\,dt \\ \displaystyle\int\limits_{1}^{x}b(t)c(t)\,dt & \displaystyle\int\limits_{1}^{x}b(t)d(t)\,dt \end{vmatrix}$$
Ahora en el fin de mostrar que $P(x)$ es divisible por $(x-1)^4$, es suficiente para demostrar que $x=1$ es una raíz de $P(x)$ con la multiplicidad, al menos, $4$. Para mostrar esto necesitamos la siguiente idea en relación a la diferenciación de un determinante.
Considerar $$f(x)=\begin{vmatrix} a_{1}(x) & b_{1}(x) & \cdots & c_{1}(x) \\ a_{2}(x) & b_{2}(x) & \cdots & c_{2}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}(x) & b_{n}(x) & \cdots & c_{n}(x) \end{vmatrix}$$ Then $$f'(x)=\begin{vmatrix} a_{1}'(x) & b_{1}(x) & \cdots & c_{1}(x) \\ a_{2}'(x) & b_{2}(x) & \cdots & c_{2}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}'(x) & b_{n}(x) & \cdots & c_{n}(x) \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1}(x) & b_{1}'(x) & \cdots & c_{1}(x) \\ a_{2}(x) & b_{2}'(x) & \cdots & c_{2}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}(x) & b_{n}'(x) & \cdots & c_{n}(x) \end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix} a_{1}(x) & b_{1}(x) & \cdots & c_{1}'(x) \\ a_{2}(x) & b_{2}(x) & \cdots & c_{2}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}(x) & b_{n}(x) & \cdots & c_{n}'(x) \end{vmatrix}$$
Mediante esto podemos demostrar que $$P(1)=P'(1)=P''(1)=P'''(1)=0$$ Hence $x=1$ is a root of $P(x)$ with multiplicity at least $4$. Thus $(x-1)^4$ occurs as a factor in $P(x)$. Therefore $F(ac)\,F(bd)-F(ad)\,F(bc)$ is always divisible by $(x-1)^4$.
