Resuelve lo siguiente... $309|(20^n-13^n-7^n)$ en $\mathbb{Z}^+$ . He invertido mucho tiempo en ello y finalmente he acudido a WolframAlpha en busca de ayuda escribiendo... Resolver $309k=20^n-13^n-7^n$ sobre los enteros. Devuelve lo siguiente... 
Nótese que aquí se generan todos los primos. ¿Puede alguien explicar por qué? Gracias. EDIT: las fórmulas sugeridas en la respuesta son demasiado complicadas, ¡pero esto es tan sencillo!
$20^6 \equiv 13^6 \equiv 7^6 \equiv 229 \bmod 309$ Así que $20^n \equiv 13^n + 7^n \mod 309$ si y sólo si $20^{n+6} \equiv 13^{n+6} + 7^{n+6} \bmod 309$ . Ya que funciona para $n=1$ y $n=5$ pero no para $0$ , $2$ , $3$ o $4$ encontramos que $20^n \equiv 13^n + 7^n \bmod 309$ si y sólo si $n \equiv 1$ o $5 \bmod 6$ .
Todos los primos excepto $2$ y $3$ son congruentes con $1$ o $5 \bmod 6$ . $2$ o $3$ no puede dividir un número congruente con $1$ o $5 \bmod 6$ de esta forma, no es fácil que un pequeño número de esta forma sea compuesto. Los primeros compuestos son $25 = 5^2$ , $35 = 5 \cdot 7$ , $49 = 7 \cdot 7$ , $55 = 5 \cdot 11$ , ...
@ShamimAkhtar Si hubieras introducido tu secuencia $\,5,7,11,13,\ldots, 65$ en OEIS obtendrías una coincidencia única: A007310 \= Números congruentes con $1$ o $5$ mod $6$ . Una vez que lo sabes, el resto es fácil. Ése es el primer método que uno debe probar en problemas como éste (cuando el patrón no está ya claro por conocimientos previos).
En mathoverflow.net/preguntas/328782/ hay una prueba de que en general $(a^2-ab+b^2)$ divide $a^{6k+r} -b^{6k+r} -(a-b)^{6k+r}$ para $r = 1, 5$ . Se trata de un caso particular con $a=20, b=13$ donde $(a^2-ab+b^2)=309$
Hasta ahora sólo ha mostrado pruebas de que algunos de los primos se generan aquí, no todos. Sin embargo, es interesante la cantidad que hay. Hay algunos polinomios que generan un número exorbitante de primos. He aquí algunos ejemplos . Es probable que tengas que hacer mucho más trabajo que simplemente explorar la idea numéricamente para demostrar que se generan todos los primos. Incluso si lo haces, estas funciones no son súper interesantes porque también producen no-primos. No sabrás si un número generado es primo o no hasta que compruebes su primalidad, así que no se puede utilizar para generar el $n^{th}$ primo sin tener que hacer muchos más cálculos. Sin embargo, es bastante genial.
Una observación trivial es que no genera todos los primos Impares: $3$ no está.
Sin embargo, puedo comprobar que todos los primos hasta $59359$ (que no sea $2$ y $3$ ) están representados.
Esto tiene mucho que ver con el hecho de que $(a^2-ab+^2)$ es un factor aparentemente de $a^n-b^n-(a-b)^n$ para todos los primos $n>3$ . Aquí, $a=20, b=13$ .
Pero ese hecho es al menos tan interesante como su observación, y no sé cómo demostrarlo.
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¿Es falso que genere todos los primos?
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Es fácil imaginar por qué podría haber una solución para todos los prime $n$ . Sin embargo, lo interesante del patrón es que $n=5\cdot 5$ y $n=5\cdot 7$ ambos aparecen, pero ninguno $n=3\cdot 3$ ni $n=5\cdot 5$ aparecer. ¿Qué composites impar admiten soluciones?
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No hay números pares ..
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Parece que $n \equiv \pm1 \pmod 6$ .
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Sí, claro, pero ¿por qué sólo llegan compuestos específicos?
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Todos los primos (excepto 2 y 3) son de la forma $6k\pm 1$ si generas todos esos números entonces estás obligado a generar también todos los números primos. No estoy seguro de si lo anterior genera todos los números de la forma $6k\pm1$ .