si y sólo si

Question

Si $(a_n)$ es una secuencia en $(0,1)$, muestran que $\frac1n\sum _{k=1}^na_k\to0$ si y sólo si $\frac1n\sum _{k=1}^na^2_k\to0$

Yo:

$\implies$: Desde $a_k\in (0,1)$, tenemos $0\le\frac1n\sum _{k=1}^na^2_k\le \frac1n\sum _{k=1}^na_k$, y si la IZQUIERDA llega a cero, entonces por el teorema del sándwich, $\frac1n\sum _{k=1}^na^2_k\to0$

Cómo mostrar otra dirección?

Answer 1

Su dirección es buena. Para probar la otra dirección, la primera selección de$\epsilon >0$ y dividir la suma de la siguiente manera, dejando $\chi$ denotar un indicador de la función, $$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\,\chi_{a_k < \epsilon} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\,\chi_{a_k \geq \epsilon}. $$

Ahora $a_k \geq \epsilon$ implica $a_k \leq a_k^2 / \epsilon$. Así tenemos $$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \epsilon\,\chi_{a_k < \epsilon} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (a_k^2 / \epsilon)\,\chi_{a_k \geq \epsilon}. $$

Esto nos da $$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \leq \epsilon + \frac{1}{\epsilon} (\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^2). $$

Ahora suponiendo $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^2$ tiende a cero, tomar el límite de $n \rightarrow \infty$ obtener $$ \limsup_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \leq \epsilon. $$

Como $\epsilon > 0$ fue elegido de forma arbitraria, usted tiene que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k$ tiende a cero.

Answer 2

Para la otra dirección, podemos usar Cauchy-Schwartz:

PS