Puntos enteros sobre una superficie

Question

Me gustaría entender ${\bf nonnegative \ integral}$ soluciones de $(x,y,z)$ en la superficie $$xyz-ax-ay-bz=d.$$ donde $a,b,d$ son enteros positivos.

Sin duda, puedo demostrar que para un fijo $z$ hay un número finito de no negativo soluciones. Pero estoy teniendo tiempo difícil probar que tiene un número finito de soluciones, incluso para algunos casos especiales triples $a,b,d$.

Answer 1

Si $x=0$, a continuación, $-ay-bz=d$ donde LHS no es positivo mientras que el lado derecho es positivo. Por lo tanto, tenemos $x\not=0$. Tenemos $y\not=0$ e $z\not=0$ igualmente.

Ahora, podemos suponer que $y\ge x\gt 0$ e $z\gt 0$.

Si $\min(x,y,z)=z$, luego $$1=\frac{a}{yz}+\frac{a}{xz}+\frac{b}{xy}+\frac{d}{xyz}\le \frac{a}{z^2}+\frac{a}{z^2}+\frac{b}{z^2}+\frac{d}{z^3}$$ $$\implies z^3-(2a+b)z-d\le 0$$ El número de $z$ la satisfacción de esta desigualdad es finito.

Consindering $$(zx-a)(zy-a)=bz^2+dz+a^2$$ para cada una de las $z$, podemos ver que el numero de $(x,y)$ es finito.

Si $\min(x,y,z)=x$, entonces, del mismo modo como en el anterior, el número de soluciones es finito.

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Ejemplo :

Por su ejemplo donde $a=9,b=4,d=37$si $\min(x,y,z)=z$, tenemos $$z^3-22z-37\le 0\implies z\le 5$$

Para cada una de las $z=1,2,\cdots, 5$, considere la posibilidad de $$(zx-9)(zy-9)=4z^2+37z+81$$

Por ejemplo, para $z=1$, tenemos $$(x-9)(y-9)=2\times 61$$ $$\implies (x-9,y-9)=(1,2\times 61),(2,61)$$ $$\implies (x,y)=(10,131),(11,70)$$ dado que ya se supone que $y\ge x$.

Answer 2

Siempre habrá un número finito de (positivo) de las soluciones.

Suponiendo $a, b, c, d$ son todos los enteros positivos, entonces el entero positivo soluciones a

$$xyz = ax + by + cz + d \tag{1}$$

están delimitadas por el siguiente motivo:

Observar que $(1)$ es equivalente a

$$\begin{align} z & = {ax + by + d \over xy + c} \\ & \le {ax + by + d \over xy} \tag2 \\ & = \frac ay + \frac bx + \frac d{xy} \\ & \le a + b + d \tag3 \end{align}$$

$(2)$ debido a que el nuevo denominador es menor (desde $c \gt 0$), y $(3)$ igualmente debido a $x, y \ge 1$.

Por idéntico argumento encontrará $1 \le x \le b + c + d$ e $1 \le y \le a + c + d$

Deje $M = 3 \cdot \max \{a, b, c, d\}$ sólo por razones de simplicidad; entonces todo entero positivo soluciones a $(1)$ están delimitadas dentro de la región de $[1, M] \times [1, M] \times [1, M]$, dentro de los cuales hay sólo un número finito de ($M^3$) son parte integrante de los puntos de