¿Cómo cambian los resultados básicos en la teoría de la representación yendo a campos característicos positivos y / o no se cierran algebraicamente?

Question

Estoy trabajando en un proyecto de la vinculación de la teoría de grafos, el modelo de la teoría y la teoría de la representación, y estoy interesado en cómo algunos de los resultados que cambiar si queremos trabajar sobre los campos de característica positiva o campos que no son algebraicamente cerrado.

Supongamos que la característica del campo no divide al orden del grupo (por Maschke del Thm el grupo de álgebra es todavía semi-simple).

Considere los siguientes resultados:

-La suma de los cuadrados de las dimensiones de cada componente irreducible es el orden del grupo.

-Todas las representaciones irreducibles de un grupo abelian son 1-dimensional.

Estos claramente no contener más de $\mathbb{R}$ - tome $\mathbb{Z}_3$ por ejemplo: se tiene un 1 dimensiones de la representación y un 2 dimensiones en este caso. Estoy tratando de ver en la prueba de estos resultados donde se hace uso del hecho de que el subyacente campo algebraicamente cerrado... ¿alguna idea?

Gracias!

Answer 1

Para el segundo, es muy fácil ver donde algebraicas cierre interviene : escoja un autovalor de uno de los elementos del grupo : es posible que no exista si el campo no es algebraicamente cerrado !

Para la primera de ellas tiene que recordar donde esta el resultado de las sumas de cuadrados proviene de : proviene del hecho de que el grupo de álgebra $k[G]$ se descompone (como un álgebra) como un producto de $M_{n_i}(V_i)$ donde la $V_i$'s son las representaciones irreducibles, por lo tanto por un análisis de las dimensiones obtenemos la igualdad en cuestión.

Sin embargo, si el campo no es algebraicamente cerrado, el Artin-teorema de Wedderburn, sólo implica que en esta descomposición se obtiene la matriz de álgebras sobre álgebras de división más grande, y no sobre el propio campo.

Para ser más precisos sobre el por qué de este primer hecho se basa en la algebraicas closedness de $k$, usted necesita para ser más específica acerca de que la prueba saber en el algebraicamente cerrado el caso.

Nota, sin embargo, que las cosas se ponen mucho más salvaje si se quita la hipótesis acerca de la característica.