Número de subgrupos de un grupo p abeliano

Question

Deje $p$ ser un número primo y deje $n\in \mathbb{N}$. Sé que cada grupo abelian de orden $p^n$ es únicamente una suma directa de grupos cíclicos de orden $p^{\alpha_i}$ donde $\sum \alpha_i = n$. Ahora la pregunta:

Entre todos abelian grupos de orden $p^n$ que posee el mayor número de subgrupos? En realidad, estoy buscando el máximo número de subgrupos tan cerca de un límite superior para el número máximo de subgrupos también sería apreciada.

AÑADIDO POSTERIOR: hasta el momento dos personas presentaron una solución, lo que sugiere que el número máximo de subgrupos es $2^n$ (lo Cual no es cierto, considere la posibilidad de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, un grupo abelian con $2^2$ elementos y $5$ de los subgrupos). Se eliminan su solución, porque había algunas lagunas.

Answer 1

Un poco más resultado general está contenida en el documento

Yun Ventilador, Una caracterización de primaria abelian $p$-grupos por el recuento de los subgrupos. (Chino) De Matemáticas. La Teoría de la práctica de 1988, no. 1, 63-65.

Entiendo la MathSciNet revisión que en este trabajo se demuestra que entre todos los grupos finitos de orden $p^{n}$, donde $p$ es un número primo, de la escuela primaria abelian uno tiene el máximo número de subgrupos.

El mismo resultado también debe aparecer en más de forma general en el siguiente artículo.

Yakov Berkovich y Zvonimir Janko, La estructura de la finitud de los p-grupos con determinados subgrupos. Ischia grupo de teoría de 2004, 13-93, Contemp. Math., 402, Israel Matemáticas. Conf. Proc., Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 2006.

Entiendo que a partir de la revisión que el resultado siguiente se demostró allí. Si $G$ es un grupo de orden $p^{n}$, y para algunos $k$, $1 < k < n$, el número de subgrupos de $G$ orden $p^{k}$ es, al menos, el número correspondiente a la primaria abelian grupo de orden $p^{n}$, a continuación, $G$ es elemental abelian sí mismo.

El papel

Haipeng Qu, Finito no primarias abelian $p$-grupos cuyo número de subgrupos es máxima. Israel J. Math. 195 (2013), no. 2, 773-781

también parece ser relevante.