Cálculo del valor esperado de la normal truncada

Question

Utilizando el resultado de la relación de molinos, dejemos que $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ entonces

$E(X| X<\alpha) = \mu - \sigma\frac{\phi(\frac{a- \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}$

Sin embargo, al calcularlo en R. no obtengo los resultados correctos como

> mu <- 1
> sigma <- 2 
> a <- 3 
> x <- rnorm(1000000, mu, sigma) 
> x <- x[x < a] 
> mean(x)
[1] 0.4254786
> 
> mu -  sigma * dnorm(a, mu, sigma) / pnorm(a, mu, sigma)
[1] 0.7124

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

La implementación de su fórmula es errónea porque, $$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\neq f_{X,\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$ Como puede ver, tenemos un extra $\sigma$ en el denominador de $f_{X,\mu,\sigma}(x)$ , lo que da como resultado: $$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\sigma f_{X,\mu,\sigma}(x)$$ dnorm le ofrece el método $f_{X,\mu,\sigma}(x)$ donde hay que multiplicarlo por $\sigma$ para obtener $\phi$ . Desde su $\sigma=2$ Esto puede hacerse prácticamente restando de nuevo el segundo término, que es $1-0.7124=0.2876$ : $$1-0.2876-0.2876=0.4247$$ que se acerca a su estimación.