Probar que:
$$L=\lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt 2 n^{\left(n-\frac 12\right)}}{n!}\left(\frac {(2\sqrt[n] {n} -1)^n}{n^2}\right)^{ \frac {n\left(n-\frac 12\right)}{\ln^2 n}}=\sqrt {\frac {e}{\pi}}$$
Mi método:
Propiedades voy a usar :
1)a Stirling aproximación:$$n!\sim\sqrt {2\pi n} \left(\frac ne\right)^n$$
2)Propiedad 2 : $$\sqrt[n] {n}\sim 1+\frac {\ln n}{n}+\frac{\ln^2 n}{2n^2}$$
3)Propiedad 3: Para todas continua y diferenciable de las funciones de $f,g$ (En su dominio, respectivamente), si $\lim_{x\to\infty} g(x)=0$ , a continuación, para lo suficientemente grande como $x$ tenemos $$(1+g(x))^{f(x)}\sim e^{f(x)\cdot g(x)}$$
Usando la aproximación de Stirling llegamos $$L=\lim_{n\to\infty} \frac {e^n}{\sqrt{\pi} n}\left(\frac {\displaystyle (2\sqrt[n]{n} -1)^n}{n^2}\right)^{\frac {n\left(n-\frac 12\right)}{\ln^2n}}$$
El uso de la Propiedad 2 obtenemos $$L=\lim_{n\to\infty} \frac {e^n}{\sqrt {\pi} n}\left(\frac { \left(1+\frac {2\ln n}{n}+\frac{\ln^2n}{n^2}\right)^n}{n^2}\right)^{\frac {n\left(n-\frac 12\right)}{\ln^2n}}$$
Y usando la propiedad 3 obtenemos $$L=\lim_{n\to\infty} \frac {e^n}{\sqrt{\pi} n} \displaystyle \frac {e^{\frac {n(2n-1)}{\ln n}}\cdot e^{ \left(n-\frac 12\right)}}{ n^{\frac {n(2n-1)}{\ln^2 n}}}$$
Usando ese $$n^{\frac {n(2n-1)}{\ln^2 n}}=e^{\frac {n(2n-1)}{\ln n}}$$
El uso de este junto a los resultados anteriores obtenemos $$L=\lim_{n\to\infty} \frac {e^n}{\sqrt{\pi} n} \displaystyle \frac {e^{\frac {n(2n-1)}{\ln n}}}{e^{ \frac {n(2n-1)}{\ln n}}}\cdot e^{ \left(n-\frac 12\right)}=\lim_{n\to\infty} \frac {e^{2n}}{\sqrt{e\pi} n}$$
Que claramente no convergen.Por favor alguien puede señalar mi error en el trabajo. También algunas nuevas sugerencias para resolver esta pregunta va a ser muy beneficioso.
