Dado $U=X_1+X_2$ en $\mathbb{R}^n$ donde $X_i$ son puntos al azar en la $n-1$-esferas $||X_i||=r_i$, e $R=||U||$, tenemos
$$
R^2 = U^2 = X_1^2 + X_2^2 + 2X_1\cdot X_2
= r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\Theta
$$
donde $\Theta\in[0,\pi]$ es el ángulo entre el $X_1$ e $X_2$. Así, $\Theta$ es una variable aleatoria correspondiente al ángulo entre dos puntos al azar en la $n-1$-esfera.
Vamos a empezar a abordar $\Theta$ e $\cos\Theta$ directamente. Nota que estos no dependen de las longitudes $||X_i||=r_i$. También, si tomamos $X_1$ en primer lugar, podemos rotar o elegir un sistema de coordenadas para $X_1=[1,0,\ldots,0]$: es decir, $X_1$ puntos a lo largo del primer eje (aka $x$-eje en dimensiones bajas). Esto es cierto porque las $X_2$ se distribuye de forma homogénea e independiente de $X_1$. Así que, básicamente, la distribución de $\Theta$ (o $\cos\Theta$) es el mismo que el ángulo entre un punto aleatorio en la unidad $n-1$-esfera y $[1,0,\ldots,0]$.
Ahora, vamos a $Z = [Z_1,\ldots,Z_n]$ ser un punto aleatorio en la unidad $n-1$-esfera: es decir, para que $Z_1^2+\cdots+Z_n^2=1$. A continuación, $\cos\Theta=Z\cdot[1,0,\ldots,0]=Z_1$. Así que lo que estamos buscando es el de la distribución de $Z_1$ de puntos aleatorios $Z$ en la unidad de $n-1$-esfera.
Podemos expresar el $n-1$-dimensiones de la zona de la unidad de $n-1$-esfera
$$
\omega_{n-1} = \int_0^\pi \omega_{n-2}(\sin\theta)^{n-2}\,d\theta
$$
donde $\omega_{n-2}(\sin\theta)^{n-2}$ es el $n-2$-área de una $n-2$-esfera con un radio $\sin\theta$. Ya que estamos, después de una uniforme distribución de probabilidad, tenemos que dividir esto por $\omega_{n-1}$. Y el siguiente, queremos expresar esto en términos de la coordenada $z_1=\cos\theta$, que, empleando $d\theta/dz_1=-\sin\theta$ e $\sin\theta=\sqrt{1-z_1^2}$, nos da
$$
\int_0^\pi \frac{\omega_{n-2}}{\omega_{n-1}} (\sin\theta)^{n-2}\, d\theta
=\int_{-1}^1 \frac{\omega_{n-2}}{\omega_{n-1}} (\sin\theta)^{n-2}\,
\left|\frac{d\theta}{dz_1}\right|\,dz_1
=\int_{-1}^1 \frac{\omega_{n-2}}{\omega_{n-1}} (1-z_1^2)^{\frac{n-3}{2}}\, dz_1.
$$
Reemplace el límite de $[-1,1]$ para $z_1$ con cualquier otro intervalo, y se obtiene la probabilidad de $Z_1=\cos\Theta$ dentro de ese intervalo de tiempo; por lo que la densidad de probabilidad de $Z_1=\cos\Theta$es
$$
f_{\cos\Theta}(z) = \frac{\omega_{n-2}}{\omega_{n-1}} (1-z^2)^{\frac{n-3}{2}}.
$$
Esto es básicamente la que indica que para las variables aleatorias $Y=h(X)$, la probabilidad de densidades están relacionados por $f_X(x)=f_Y(y)\cdot\left|h'(x)\right|$.
Volviendo a $R$, ya sabemos $R^2$ es lineal en $\cos\Theta$ con valores en $[(r_1-r_2)^2, (r_1+r_2)^2]$. Entrando en la distribución de $\cos\Theta$, esto le da a la densidad de $S=R^2$:
$$
f_{R^2}(s)
= \frac{\omega_{n-2}}{2r_1r_2\omega_{n-1}}
\left[ 1 - \left(\frac{s-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}\right)^2 \right)^{\frac{n-3}{2}}.
$$
Ahora, $f_R(r) = 2rf_{R^2}(r^2)$ (misma regla anterior para el cambio de variables) que los rendimientos de
$$
f_{R}(r)
= \frac{r\omega_{n-2}}{r_1r_2\omega_{n-1}}
\left[ 1 - \left(\frac{r^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}\right)^2 \right)^{\frac{n-3}{2}}.
$$
Tenga en cuenta que para los puntos distribuidos de manera uniforme entre dos radios, usted debe tener la densidad de $f_R(r)=ar^{n-1}$ para algunas constantes $a$ como $n-1$-áreas de la $n-1$-esferas de radio $r$ es $\omega_{n-1}r^{n-1}$. Así que para no $n$ es ese el caso.
La densidad de probabilidad de la $n$-dimensiones del vector de $U$ se encuentra dividiendo por el $n-1$área $\omega_{n-1}r^{n-1}$:
$$
f_{U}(u)
= \frac{\omega_{n-2}}{r^{n-2}r_1r_2\omega^2_{n-1}}
\left[ 1 - \left(\frac{||u||^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}\right)^2 \right)^{\frac{n-3}{2}}.
$$
Admito que el $\omega_{n-2}/\omega_{n-1}^2$ me preocupa he cometido un error en alguna parte, pero aún así creo que el enfoque debe ser la correcta.
Como para la $k$-área de la unidad de $k$-esfera,
$$
\omega_k = \frac{2\pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)},
$$
como se puede encontrar en Wikipedia, donde la gamma-función satisface $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$, e $\Gamma(n+1)=n!$ para los números enteros.
