Si$(\{n\alpha\}-c)(\{n\beta\}-c)\ge 0,\forall n\in N^{+}$ tiene$\{\alpha\}=\{\beta\}$?

Question

La siguiente pregunta fue hecha por uno de mis estudiantes.Él no sabía que la conclusión era correcta. Pensé por un largo tiempo y se sentía bien.Porque parece que estamos usando el teorema de Kronecker

Se sigue de Kronecker densidad del teorema indica que si $\theta$ es un irracional número real, $\alpha$ es un número real, y $\varepsilon>0$ es cualquier número real positivo, entonces existen enteros $h,k$ con $0<k$ tales que $$ |k\theta-h-\alpha|<\varepsilon. $$

Problema:

Supongamos $c\in (0,1)$ y los números irracionales $\alpha,\beta$ son tales que $$(\{n\alpha\}-c)(\{n\beta\}-c)\ge 0,\forall n\in N^{+}.$$ Demostrar o refutar $$\{\alpha\}=\{\beta\}.$$

Answer 1

Hemos hecho debe tener $\{\alpha\} = \{\beta\}$. De lo contrario, ya que los comentarios del punto de salida, podemos asumir $\alpha = \beta+\frac{p}{q}$ para algunos $p \ge 1,q \ge 2, \gcd(p,q) = 1$.

Primero asuma $c > 1/q$. Tome $0 < \epsilon < \min(1-c,\frac{1}{q})$ e $n \equiv p^{-1} \pmod{q}$ con $\{n\beta\} \in (c-\frac{1}{q},c-\frac{1}{q}+\epsilon)$, que podemos hacer desde $q\beta$ es irracional. A continuación, $\{n\alpha\} = \{n\beta\}+\frac{1}{q} > c$.

Si $c \le \frac{1}{q}$, a continuación, $c+\frac{1}{q} \le 1$. Tome $0 < \epsilon < c$ e $n \equiv -p^{-1} \pmod{q}$ con $\{n\beta\} \in (c+\frac{1}{q}-\epsilon,c+\frac{1}{q})$. A continuación, $\{n\alpha\} = \{n\beta\}-\frac{1}{q} < c$.