Cuando intentaba resolver un problema de física sobre desacoplar un sistema de EDOs, me encontré con la necesidad de abordar el siguiente problema:
Sea $A_n\in M_n(\mathbb R)$ la matriz con todos los $1$s encima de su diagonal principal, todos los $-1$s debajo de su diagonal, y $0$s en todas partes. ¿Es siempre diagonalizable $A_n$? En caso afirmativo, ¿cuál es su diagonalización (equivalentemente: cuáles son sus valores propios y vectores propios correspondientes)?
Por ejemplo, $$A_3=\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix},\quad A_5=\begin{bmatrix}0&1&0&0&0\\-1&0&1&0&0\\0&-1&0&1&0\\0&0&-1&0&1\\0&0&0&-1&0\end{bmatrix}.$$
Suponiendo que mi código es correcto, Mathematica ha sido capaz de verificar que $A_n$ es siempre diagonalizable hasta $n=1000$. Si usamos $\chi_n(t)\in\mathbb Z[t]$ para denotar el polinomio característico de $A_n$, una evaluación directa también muestra que $$\chi_n(t)=-t\chi_{n-1}(t)+\chi_{n-2}(t)\tag{1}$$ para todo $n\geq4$. Además, note que $A_n=-A_n^t$ de modo que, en el caso en que la dimensión es par, $$\det(A_{2n}-\lambda I)=\det(A_{2n}^t-\lambda I)=\det(-A_{2n}-\lambda I)=\det(A_{2n}+\lambda I).$$ Esto implica que siempre que $\lambda$ sea un valor propio de $A_{2n}$, también lo es $-\lambda$. En otras palabras, $\chi_{2n}(t)$ siempre tiene la forma $(t^2-\lambda _1^2)(t^2-\lambda_2^2)\dotsm(t^2-\lambda_n^2)$ para algún $\lambda_i$.
Y aquí es donde me quedé atascado. Para que $A_n$ sea diagonalizable, debemos tener todos los valores propios distintos, pero intentar usar la recurrencia $(1)$ y la inducción fuerte, o intentar usar la fórmula para el caso par no ha ayudado en absoluto. Parece que la línea de ataque más probable sería mostrar de alguna manera que $$\chi_{2n}'(t)=2t\sum_{k=1}^n\frac{\chi_{2n}(t)}{t^2-\lambda_k^2}$$ nunca comparte un cero común con $\chi_{2n}$ (lo que resolvería el caso par), aunque no veo cómo hacer que funcione.
Nota: No tengo ni idea de cómo encontrar realmente los valores propios/vectores propios incluso en el caso en que los $A_n$ sean diagonalizables. Como tal, incluso si alguien no puede responder la segunda parte de la pregunta, pero puede demostrar que los $A_n$ son diagonalizables, lo apreciaría como una respuesta también. Arriba intenté analizar el caso especial donde la dimensión es par, aunque por supuesto la prueba para todos los $n$ pares e impares es más valiosa. Incluso si esto no es posible, para mis propósitos solo necesito un subconjunto infinito $S\subseteq\mathbb Z$ para el cual se demuestre la conclusión para $n\in S$, por lo que cualquier enfoque así también es bienvenido.
¡Gracias de antemano!
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Todos los autovalores distintos es una condición suficiente pero no necesaria para que una matriz sea diagonalizable.
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@HenningMakholm ese es un punto muy válido. Pero antes de las respuestas a la pregunta, ese era el único método que conocía (por lo tanto, todos mis enfoques se basaban en eso).