Si $H_1 \subset H_2 \subset G$ y $G/H_2,\ H_2/H_1$ son compactas, entonces $G/H_1$ es compacto.

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio del libro "Grupos de Lie - Luiz A. B. San Martin (ejercicio 18, página 55)":

Ejercicio: Sea $G$ sea un grupo topológico (si es necesario, $G$ es Hausdorff) y $H_1 \subset H_2\subset G$ subgrupos cerrados de $G$ . Demuestre que si $G/H_2$ y $H_2/H_1$ son compactas, entonces $G/H_1$ es compacto.

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Algunos comentarios...

Es fácil ver que la función \begin{align*} \pi: G/H_1 &\to G/H_2 \\ g H_1 & \mapsto g H_2, \end{align*} es una función continua y abierta, sin embargo $\pi$ también satisface $g_1 \cdot \pi(g_2) = \pi(g_1\cdot g_2)$ , $\forall \ g_1 \in G,\ $ ( $g_1 \cdot (g_2 H) = (g_1 \cdot g_2) H$ ).

Aunque conozco el siguiente teorema:

Teorema: Sea $G$ sea un grupo topológico, y $H$ un subgrupo cerrado de $G$ si $H$ y $G/H$ son compactas, entonces $G$ es compacto.

No puedo aplicarlo para resolver mi problema, una vez tampoco $G/H_1$ ni $H_2/H_1$ son grupos topológicos.

Así pues, he intentado adaptar la demostración del teorema citado anteriormente para mi caso, y es necesario demostrar que la función $ \pi $ es una función cerrada, lo que no pude concluir.

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Lema. El mapa $\pi$ está cerrado.

Prueba . Sea $F_1\subset G/H_1$ cualquier conjunto cerrado y $x_2\in G/H_2\setminus \pi(F_1)$ sea un punto cualquiera. Construiremos una vecindad de $x_2$ disjuntos de $\pi(F_1)$ . Para cada $i=1,2$ deje $q_i:G\to G/H_i$ sean los mapas cociente. Tenemos $q_2^{-1}(x_2)=xH_2$ para algún punto $x\in G$ . Ponga $F=q_1^{-1}(F_1)$ y observar que $F$ está cerrado en $G$ y $F=FH_1$ . Desde $x_2\not\in \pi(F_1)$ los conjuntos $F$ y $xH_2$ son disjuntos. Sea $y\in xH_2$ sea un punto cualquiera. Dado que el conjunto $F$ está cerrado, $y\not\in F$ y $G$ es un grupo topológico de Hausdorff, existe una vecindad abierta $O_y=O_y^{-1}$ de la identidad de $G$ tal que $O_y^2y\cap F=\varnothing$ . Desde $F=FH_1$ , $O_y^2yH_1\cap F=\varnothing$ y así $q_1(O_y^2yH_1)\cap q_1(F)=\varnothing$ . Obsérvese que $O_{y1}=q_1(O_yyH_1)$ es una vecindad abierta de un punto $yH_1\in G/H_1$ . Dado que un mapa $tH_1\mapsto xtH_1$ para cada $t\in H$ es un homeomorfismo de un espacio $G/H_1$ el conjunto $xH_2/H_1$ es homeomorfo a $H_2/H_1$ por lo que es compacto. Desde $\{O_{y1}:y\in xH_2\}$ es una cubierta abierta del conjunto $H_2/H_1$ existe un subconjunto finito $Y$ de $xH_2$ tal que $xH_2\subset\bigcup \{O_{y1}:y\in Y\}$ . Ponga $O=\bigcap\{Oy: y\in Y\}$ . Afirmamos que $F\cap OxH_2=\varnothing$ . En efecto, supongamos por el contrario que existe un punto $z\in F\cap OxH_2$ . Desde $xH_2\subset\bigcup \{O_{y1}:y\in Y\}$ existe un punto $y\in Y$ tal que $z\in O=O_yyH_1\subset O_y^2H_1$ una contradicción, porque $O_y^2yH_1\cap F=\varnothing$ . Así que un conjunto $q_2(OxH_2)$ es una vecindad de $x_2$ et $q_2(OxH_2)\cap \pi(F_1)= q_2(OxH_2)\cap q_2(FH_2)=\varnothing$ . $\square$

Desde $H_1$ está cerrado en $G$ el espacio $G/H_1$ es Hausdorff y vemos que el mapa $\pi$ es perfecto. Así que el espacio $G/H_1$ es compacta por el teorema 3.7.2 de "Topología general" de Ryszard Engelking (Heldermann Verlag, Berlín, 1989)).