Supongamos que$p$ es primo con$p \equiv 7 \pmod 8$. Si$t = \frac{p - 1}{2}$, demuestre que$2^t \equiv 1 \pmod p$

Question

Supongamos que$p$ es primo con$p \equiv 7 \pmod 8$. Si$t = \frac{p - 1}{2}$, demuestre que$$2^t \equiv 1 \pmod p.$ $

Cualquier sugerencia será apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Obviamente $p$ es raro.

Es bien sabido que $$\left(\dfrac 2p\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$$ where $\left(\dfrac ap\right)$ es el símbolo de Legendre.

En la otra mano $$p=8m+7\Rightarrow p^2-1=64m^2+112m+48\Rightarrow\frac{p^2-1}{8}=8m^2+14m+6\in 2\Bbb Z$ $

Sigue (porque es $\frac{p^2-1}{8}$) $$\left(\dfrac 2p\right)= 1$$ which means that $2 $ is a square modulo $p$.

Así $$\left(2\right)^{\frac{p-1}{2}}=\left(x^2\right)^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}\equiv 1\pmod p$ $

Answer 2

Deje que$\alpha$ denote una primitiva$8$ th raíz de la unidad en un cierre algebraico de$\mathbb F_p$. El elemento$y=\alpha+\alpha^{-1}$ verifica$y^2=2$ para$y^4=-1$ por lo tanto$\alpha^2+\alpha^{-2}=0$. En consecuencia,$2^{(p-1)/2}=y^{p-1}$. Tenga en cuenta también que$y^p=\alpha^p+\alpha^{-p}$. Si$p\equiv -1\pmod 8$ entonces$y^p=y$, por lo tanto,$2^{(p-1)/2}=y^{p-1}=1$.