¿Cuántos enteros entre $1$ y $2016$ son divisibles por un cubo no trivial $p^3$ , $p > 1$ ?

Question

¿Cuántos enteros entre $1$ y $2016$ son divisibles por un cubo no trivial $p^3$ , $p > 1$ ?

Answer 1

Tenemos $13^3 > 2016$ . Así que quieres contar los números $\leq 2016$ que son divisibles por al menos uno de: $2^3, 3^3, 5^3, 7^3, 11^3$ . No hay solapamiento entre ellos, excepto para aquellos números que son múltiplos de ambos $2^3$ y $3^3$ (es decir, números divisibles por $6^3$ ), y los números que son múltiplos de ambos $2^3$ y $5^3$ (es decir, números divisibles por $10^3$ ). No hay otra doble o triple contabilidad, ya que $2 \times 7, 3 \times 5 \geq 13$ .

Por lo tanto, la respuesta es $$[2016/2^3] + [2016/3^3] + [2016/5^3] + [2016/7^3] + [2016/11^3] - [2016/6^3] - [2016/10^3] = 252 + 74 + 16 + 5 + 1 - 9 - 2 = 337.$$