Demuestre que la integral Sine existe como una integral de Riemann impropia pero no es integrable por Lebesgue.

Question

Tengo que demostrar que $$\int_0^1 \frac{1}{t}\sin\left(\frac{1}{t}\right)dt,$$ exists as an improper Riemann integral, yet that $$f(t)=\frac{1}{t}\sin\left(\frac{1}{t}\right)\notin \mathcal{L}_1((0,1),\mathbb{B},\lambda),$$ es decir, que $$\int_{[0,1]}\left|\frac{1}{t}\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right|d\lambda=\infty.$$

Intento: sabemos que $\forall \epsilon, 0<\epsilon \le 1$, $f(t)$ es continua en a $[\epsilon,1]$, lo $\int_{\epsilon}^1 f(t)dt$ existe. Ahora, con el cambio de variable $z=1/t$ la integral se convierte en $$\int_1^{\frac{1}{\epsilon}} \frac{\sin(z)}{z}dz.$$ Tengo que probar el límite de la expresión anterior converge como $\epsilon \rightarrow 0$.

Para la segunda parte me dijeron que debo aproximado de $|f(t)|$ por funciones simples y mostrar que sus integrales ir a $\infty$, pero no acabo de comprender el procedimiento.

Cualquier idea o una idea, sería muy apreciado.

Answer 1

Para la no integrabilidad en el sentido de Lebesgue, se pueden usar los intervalos $$ I_n = \ left (\ dfrac1 {n \ pi +3 \ pi / 4}, \ dfrac1 {n \ pi + \ pi / 4} \ right). $$ En cada$I_n$,$|\sin(1/t)|\geqslant1/\sqrt2$ y$t\leqslant1/(n\pi)$ por lo tanto$|\sin(1/t)/t|\geqslant n\pi/\sqrt2$. La longitud de$I_n$ es de orden$1/n^2$ por lo tanto, la integral de$|t\sin(1/t)|$ en$I_n$ es al menos de orden$1/n$. Sumando estos se muestra la divergencia integral de Lebesgue.

Las pruebas de que$\displaystyle\int_1^x\frac{\sin(t)}t\mathrm dt$ convergen cuando$x\to+\infty$ están en todo el sitio.