Función localmente integrable con un límite uniforme ...

Question

Estoy un poco perdido ... Tengo un espacio de medida$(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\mu)$ donde$\mathcal{B}(\Omega)$ es un conjunto de Borel. Deje que$f$ sea una función medible de valor real en$\Omega$ y$\mathcal{K}$ sea el conjunto de todos los conjuntos compactos en$\Omega$. Si $$ \ sup_ {K \ in \ mathcal {K}} \ int_K \ lvert f (x) \ rvert \, \ mu (dx) <+ \ infty \ ,, $$

tenemos $f\in L^1(\Omega,\mu)$?

Podemos agregar cualquier propiedad agradable en$\Omega$ como localmente compacta, o$\mu$ siendo$\sigma$ - finito, etc. Gracias de antemano ... Tal vez una sugerencia porque no está del todo clara para yo.

Sinceramente.

Answer 1

Basta saber que hay una secuencia de conjuntos compactos $K_n$ que satisface $\mu(\Omega \setminus \bigcup K_n) = 0$ (por qué!? El uso de la monotonía de la convergencia y el hecho de que el $K_n$ puede considerarse un aumento de la secuencia).

El de arriba es cumplida por ejemplo, si

1) $\Omega$ $\sigma$- compacto, o

2) $\mu$ $\sigma$- finito e interior regular, porque, a continuación, $\Omega = \bigcup M_n$ con un aumento de la secuencia de $M_n$ cada finito de medida, de modo que para cada $n$ existe un compacto $K_n$$\mu(M_n \setminus K_n) < 2^{-n}$, por lo que

$$ \mu (\Omega \setminus \bigcup K_n) = \lim_m \mu(M_m \setminus K_n) \leq \lim_m 2^{m} = 0. $$