el número de tamaños de clase de conjugación de$S_n$

Question

Si $a$ tiene el ciclo de tipo $(k_1,k_2,...,k_t)$ y $b$ tiene el tipo $(l_1,l_2,...,lt)$ que es diferente con el ciclo ¿tipo de $a$, entonces puede el % de igualdad $|C{Sn}(a)|=|C{S_n}(b)|$ocurre? Espero que la respuesta es no.

Answer 1

Desafortunadamente, la respuesta es sí: hay una bijección entre los ciclos$n-2$ y las permutaciones de tipo (n-2,2).

Más generalmente, las permutaciones del tipo$(k_1,k_2,\dots, k_t)$ son$\dbinom{n}{k_1,k_2,\dots,k_t}=\dfrac{n!}{k_1!\,k_2!\,\dotsm\, k_t!}$, si no tiene en cuenta las permutaciones dentro de cada ciclo . Por lo tanto, el cardenal de una clase de cojugación es$$\dfrac{\displaystyle n!\prod_{i=1}^t( k_i-1)}{\displaystyle\prod_{i=1}^t k_i!}.$ $