Triángulo y área equiláteros

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema: Dado un triángulo equilátero $\triangle ABC$ con $AB=1$, $M,\ N$ y $Q$ son los puntos en los lados $AB,\ BC$ $AC$ de manera tal que las líneas de $AN,\ BQ$ $CM$ dividir el triángulo en $4$ triángulos y $3$ cuadriláteros. Hemos color de los triángulos en dos colores (negro y azul) de tal manera que cualquiera de los dos triángulo con vértice común son de color con diferentes colores. Si el área de color negro es igual a la de color azul, encontrar la suma de $AM+BN+CQ$.

Answer 1

El diagrama se muestra arriba. Deje que$a,b,c,d,e,f,g$ sean las áreas de cada región como se muestra. Entonces $a+b+f+g=CN\frac {\sqrt 3}2, d+e+f+g=AQ\frac {\sqrt 3}2, b+c+d+g=BM\frac {\sqrt 3}2$. La condición en la coloración dice$a+c+e=g$. Sumando los tres primeros da$(a+c+e)+2(b+d+f)+3g=(CN+AQ+BM)\frac {\sqrt 3}2$. Usando el color, obtenemos que el lado izquierdo es el doble del área del triángulo:$2\frac {\sqrt 3}2=(CN+AQ+BM)\frac {\sqrt 3}2$ o$CN+AQ+BM=2$

Answer 2

Deja que el triángulo sea EDF.

• ahora [EDF] = [ABC]$-$ ([AMC] + [ABN] + [BQC]$-$ [ECQ]$-$ [ADM]$-$ [BFN])
• SO [EDF] = [ABC]$-$ ([AMC] + [ABN] + [BQC]) + [EQC] + [ADM] + [BFN]
• entonces tenemos [ABC] = [AMC] + [ABN] + [BQC]
• EN$\bigtriangleup$ ABC cada altura es$\sqrt[2]{3}$.$\frac{1}{2}$
• así que tenemos$\frac{a}{4}$ =$\frac{1}{2}$.$\frac{a}{2}$. AM +$\frac{1}{2}$.$\frac{a}{2}$. BN +$\frac{1}{2}$.$\frac{a}{2}$. CQ [DONDE a =$\sqrt[2]{3}$]
• de esto obtenemos AM + BN + CQ = 2