Deje $\{U_i\}_{i\in I}$ ser localmente finito colección de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$, $K_i\subseteq U_i$ compacto subconjuntos, $\epsilon_i>0$ números reales positivos y no negativos natural de número de $k$.
Vamos ahora a $K$ ser otro subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$. Ya que la colección es localmente finito, $K$ cruza sólo un número finito de la $U_i$ trivial, digamos que estos son $U_1,...,U_n$.
Deje $f\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función suave (todas las derivadas parciales de cualquier orden de compra que existe y se differntiable) tal que $\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}f(x)<\epsilon_i$ para todos los $x\in K_i$, $i\in\{1,...,n\}$ y todos multiindices $\alpha$ orden $|\alpha|\le k$, por ejemplo, todas las derivadas parciales de $f$ hasta fin de a $k$ $\epsilon_i$delimitadas en el pacto subconjuntos, que podría cruzan $K$.
Hay una función suave $f'\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ para que la condición anterior se sostiene para todos los $i\in I$ y que está de acuerdo con $f$$K$?
Mi intento fue el siguiente:
Elegir un golpe función de $\delta\colon \mathbb{R}^n\rightarrow (0,\infty)$ $1$ en un barrio de $K$ $0$ fuera de un pequeño subconjunto compacto $L$ que incluye a $K$ e intente $f'=\delta f$, pero que parecía no trabajar, ya que una no podía controlar las derivadas parciales de la protuberancia de la función en el área donde se va de $1$$0$.
