Es$$\sin^2(z) + \cos^2(z)=1$$ still true for all $ z \ in \ Bbb {C}$? I've tried rewriting it using complex definitions of $ \ sin$ and $ \ cos $, y no veo por qué no lo haría, pero el texto Estoy leyendo hace esta pregunta como si no debería aguantar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se puede derivar de esta identidad a partir de nada más que la fundamental diferencial de identidades que definen $\sin$$\cos$. Por suponga que tiene las funciones de $s(x)$ $c(x)$ (que juegan las funciones obvias) con $s'(x) = c(x)$ $c'(x) = -s(x)$ donde$s(0) = c'(0) = 0$$c(0)=s'(0)=1$. (Si sólo se da la más común la exigencia de que $s'' = -s$ $c''=-c$ a continuación, se suelen obtener por encima de los derivados como resultado de saber que ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales tienen soluciones únicas; no quiero invocar esta aquí.)
Esto es sólo debido a $(s^2+c^2)' = 2ss' + 2cc' = 2sc-2sc = 0$, y así es constante; pero también saben que $s^2(0)+c^2(0)=1$ por la definición de $s$$c$. En esta prueba, de hecho, nunca usado que estas son funciones reales; sólo las fórmulas de sus derivados satisfacer.
Hay otras maneras para concluir, también. Una forma estándar es la fórmula de Euler; otro es el hecho de que, debido a $\sin$ $\cos$ son tanto holomorphic, $\sin^2+\cos^2-1$ es holomorphic, y sabemos que es cero en la recta real. La identidad teorema dice que cualquier holomorphic función que se desvanece en un conjunto con un punto límite (que la línea real, por supuesto, es) se desvanece en todas partes, por lo $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$ en todas partes. No es difícil demostrar el teorema de identidad, pero la identidad de $\sin^2+\cos^2=1$ es incluso más fundamental de lo que es.
