¿Está todo subconjunto compacto contenido en un subconjunto regular?

Question

Deje $A$ ser un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$, $C \subset A$ un conjunto compacto. No siempre existe un conjunto abierto $B \subset A$ tal que $C \subset B$ $\partial B \subset A$ $C^1$ regular de la superficie?

Como sea posible, los resultados parciales, la primera notificación que por compacidad existe un conjunto finito de bolas contenidas en $A$ cuya unión contiene $C$ (la frontera de curso no es regular en las intersecciones). También se puede tratar de regularizar la función característica $\mathbb{1}_B$ de un conjunto abierto $B$ que satisface las inclusiones, y considerar un conjunto de nivel de la regularización de la función. Sin embargo, parece que no triviales para mostrar que uno puede elegir la regularización y el nivel establecido de tal manera que el gradiente nunca se desvanecen en el conjunto de nivel.

Answer 1

De hecho, la regularización es un resultado parcial útil: luego basta con aplicar el teorema de Sard a la función regularizada para encontrar un conjunto de nivel superior con borde regular.