¿Por qué hay números irracionales?

Question

No lo entiendo del todo. ¿Por qué no podemos representar todos los números reales como una suma de números racionales? ¿Por qué necesitamos números irracionales?

Por ejemplo,

• $\pi=3.14159265358\cdots=3+10^{-1}+4*10^{-2}+10^{-3}+5*10^{-4}+\cdots$
• $e=2.71828182846\cdots=2+7*10^{-1}+10^{-2}+8*10^{-3}+2*10^{-4}+\cdots$
• Y así

Answer 1

Puede representar cualquier número real como una secuencia convergente de números racionales, como lo hace anteriormente. Sin embargo, los números irracionales son aquellos números que no pueden expresarse como una secuencia finita . Independientemente del largo de una secuencia finita de números racionales que se aproximan a$\pi$ que tiene, hay un número real positivo$\varepsilon$ tal que el último término en la secuencia está al menos a$\varepsilon$ lejos de$\pi$ (En particular, podemos tomar el último término de la secuencia,$t$, y tomar$\varepsilon = \frac{|\pi - t|}{2}$).

Answer 2

Durante mucho tiempo las personas creían que los números racionales fueron suficientes para realizar cualquier operación aritmética que necesitábamos. No fue hasta 500 antes de cristo que la de los Pitagóricos, comenzó a ser consciente de que los números racionales no eran suficientes.

Por ejemplo, los Pitagóricos se trató de calcular algo que parecía benignos. Querían encontrar la longitud de la diagonal de un cuadrado con lados de longitud unidad. Ahora sabemos (por el teorema de Pitágoras) que este debe ser el número que representan,$\sqrt{2}$. Los Pitagóricos se trató de encontrar un número racional correspondiente a este y llegamos a una contradicción. Se dice que los Pitagóricos estaban tan disgustados que ahogaron la persona que descubrió esto. También he oído que la especulación de que esto es por qué las matemáticas griegas estaba tan centrado en la geometría, ya que esto es algo que puede "ver" y lejos de la incómoda conceptos como los números irracionales.

Esta fue la primera instancia en la que el número irracional comenzó a parecer necesario. El próximo gran número irracional para venir adelante fue la número $\pi$. Esto fue en el 350 A.C., y el primero para tratar de aproximar este número fue Arquímedes. Aquí es donde la estimación 22/7 vino. Él también tenía una mejor estimación de que, se me escapa por el momento. La Biblia también estima que esta como a 3, cuando se describe una fuente en el templo de Salomón. Creo que la prueba de la irracionalidad de la $\pi$ tuvo que esperar para Lambert en la década de 1700.

Los números irracionales se produjo a resolver los problemas que los números racionales no estaban a la tarea de hacer. Principios matemáticos resistido el concepto, pero que han sido bien aceptados por el milenio pasado, al menos.

Answer 3

Algunas definiciones relevantes parecen estar en orden.

Número Real: Cualquier número en la real continua de la línea de$-\infty$$\infty$.

Entero: Un número real que puede ser expresado sin fraccional componente.

Número racional: Un número que puede expresarse como un cociente de dos enteros. Tenga en cuenta que los números enteros ellos mismos son racionales, ya que podemos expresar cualquier número entero $n$$\frac{n}{1}$.

Número irracional: Un número que no puede expresarse como un cociente de dos enteros.

Ahora bien, en particular, en su pregunta, $k\cdot10^{-n}$ $\textit{not}$ un entero donde $k$ $n$ son enteros positivos y $k$ es una cifra entre el$1$$9$. Estos son sólo la $\textit{rational}$ números desde $k\cdot10^{-n}=\dfrac{k}{10^n}$, que es un cociente de enteros.

Upsettingly de Pitágoras, los números irracionales no existen. Aquí es el estándar de prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional.

Answer 4

Porque no puede representarlos como p / q con ambos enteros p y q. Es por eso que se llaman números irracionales. No representable como p / q. 0.33333 .... es 1/3. la raíz 2 no se puede escribir como p / q donde p y q son enteros.