Serie de Taylor de$\arctan(x+2)$ en$x=\infty$

Question

La pregunta es: ¿cuál es la forma correcta de calcular la expansión de la serie de $\arctan(x+2)$ $x=\infty$ sin extraños (y tal vez mal) trucos?

Leer más sólo si desea más detalles.

El primero (obvio) el problema es que el infinito no es un número, lo $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(\infty)}{k!}(x-\infty)^k$ no tiene sentido.

Así que he tratado de solucionar $\lim_{x_0\to \infty} ({\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k})$ a un plazo de tiempo. El primer término (con $k=0$) puede ser fácilmente calculada y el segundo término es: $$\lim_{x_0\to \infty} (\frac{x-x_0}{1+(x_0+4x_0+4)} \sim -\frac{x_0}{x_0^2}=\frac{-1}{x_0}) = 0$$

La asintótica de la función de $\frac{-1}{x_0}$ es similar a lo que debe conseguir el segundo término (que es $\frac{-1}{x}$). Pero para obtener el resultado correcto que debo hacer algunas cosas peligrosas: debería reemplazar $x_0$ $x$ (por qué?) y no calcular el límite (de lo contrario no puedo conseguir la precisión deseada de la expansión de la serie).

También he tratado de solucionar $\arctan(1/t+2)$$t=0$, pero el argumento de arctg es todavía un infinito y las dificultades que me encuentro son los mismos.

Hay alguna forma de calcular la expansión de la serie de $\arctan(x+2)$ $x=\infty$ más limpia sin todos estos problemas?

Answer 1

Sustituyendo $x=\frac 1t$ y en expansión alrededor de $t=0$ es la cosa correcta de hacer. La primera derivada de la $\tan^{-1}(\frac{1}{t}+2)$ es, por la regla de la cadena $$ -\frac{1}{t^2}\frac{1}{(\frac 1t +2)^2} = -\frac{1}{(1+2t)^2}~, $$ lo cual es perfectamente finito en $t=0$. Lo mismo va para todos los otros derivados.

Después de construir su expansión de Taylor, simplemente reemplace $t$$\frac 1x$.

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Edit: tal vez el cero-fin de plazo de que se trate. Aunque el argumento no convertido de hecho, en singular, $\tan^{-1}(1/t)$ está bien-se comportó como $t\to 0^+$; sólo los enfoques $\pi/2$. Así que este es el cero de orden plazo para su expansión.

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Edit 2: Marc Palma correctamente señala en su respuesta corta que la serie de Taylor no converge (una forma sencilla de ver esto es que el $\tan^{-1}$ enfoques diferentes valores en $x \to \pm \infty$, pero estos corresponden ambos a $t\to 0$, por lo que la función no puede ser analítico; esta es la razón por la que escribí $t\to 0^+$ anterior). Sin embargo, el procedimiento anterior todavía ofrece una sensible expansión a algunos finito de orden, con el error delimitada por Taylor teorema.

Answer 2

Los polos se acumulan en$\infty$, no es posible la expansión de Taylor en$\infty$. $artcan$ es una función trascendental y tiene una singularidad no removible en$\infty$.

Answer 3

Podemos escribir$$\arctan (x+2) = \frac{\pi}{2} - \int_x^\infty \frac{dt}{1+(t+2)^2}.$ $

Ahora podemos expandir el integrand en una "serie de potencias" en$\frac1t$,

$$ \begin{align} \frac{1}{1+(t+2)^2} &= \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{t+2-i} - \frac{1}{t+2+i}\right)\\ &= \frac{1}{2it} \left(\frac{1}{1+\frac{2-i}{t}} - \frac{1}{1+\frac{2+i}{t}}\right)\\ &=\sum_{\nu=1}^\infty \frac{(-1)^\nu\bigl((2-i)^\nu - (2+i)^\nu\bigr)}{2i}\frac{1}{t^{\nu+1}}. \end {align} $$

Esa serie converge uniformemente en$[c,\infty)$ para$c > \sqrt{5}$, y todos los sumandos y la suma son integrables, por lo que

$$ \begin{align} \arctan(x+2) &= \frac{\pi}{2} - \sum_{\nu=1}^\infty \frac{(-1)^\nu\bigl((2-i)^\nu - (2+i)^\nu\bigr)}{2i} \int_x^\infty \frac{dt}{t^{\nu+1}}\\ &= \frac{\pi}{2} - \sum_{\nu=1}^\infty \frac{(-1)^\nu\bigl((2-i)^\nu - (2+i)^\nu\bigr)}{2i\nu} \frac{1}{x^\nu}. \end {align} $$

Expandiendo los primeros coeficientes de rendimiento.

PS