Las transformaciones lineales preservan la suma cuadrada de las normas de las bases ortonormales.

Question

Deje que$V$ sea un espacio de vector de producto interno sobre$F$, que$B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ y$C=\{c_1,\dots ,c_n\}$ sean dos bases ortonormales, y que$T:V\to V$ sea una transformación lineal. Probar o refutar:$$\sum_{i=1}^n\Vert Tb_i\Vert^2=\sum_{i=1}^n\Vert Tc_i\Vert^2$ $

Mi sensación es que esto es correcto, ya que la longitud de cada vector se decide por los coeficientes de la base ortonormal, cuya suma debe ser igual para las diferentes bases, y esta igualdad debe preservarse durante la transformación, pero estoy seguro de cómo prueba esto

Answer 1

Suponga $b_i$ es el estándar de base y asumen $T$ ha matriz $A$ en esta base. A continuación, $Ab_i$ $i-$ésima columna de a $A$, por lo tanto $\sum_{i=1}^n ||A b_i||^2$ es sólo la suma de los cuadrados de la distancia Euclídea normas de las columnas de a $A$. Más simplemente dijo, esta suma es en realidad la suma de los cuadrados de las entradas de $A$. Esta suma tiene un nombre: el cuadrado de la norma de Frobenius $||A||_F$ $A$ . El artículo nos da

$||A||_F^2 = tr(A^*A)$

Ahora, echemos un vistazo a la suma: si $P$ es la matriz de cambio de base de a$b_i $$ c_i $, yo.e $Pb_i =c_i$

$$\sum_{i=1}^n ||A c_i||^2 = \sum_{i=1}^n ||AP b_i||^2 = ||AP||_F^2 = tr((AP)^*AP) = tr(P^*A^*AP) = tr(A^*A) = ||A||_F^2$$ Donde hemos utilizado el hecho de que la traza no cambia bajo ortonormales transformaciones.

Por tanto, el resultado de la siguiente manera.