¿Espacio de las funciones de Lipschitz completo?

Question

Consideremos el subespacio de funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ que son Lipschitz. ¿Es este subespacio completo bajo la norma sup ( $\Vert \cdot \Vert_{\infty} = \sup \{ |f(x)| : x\in S \}$ )?

Yo diría que sí, ya que todas las funciones de Lipschitz ( $d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq K d_{X}(x_{1},x_{2})$ , $K \geq 0$ , donde aquí $X = [0,1]$ , $Y = \mathbb{R}$ ) son uniformemente continuas, las funciones de ciertos tipos tienden a converger uniformemente a funciones de los mismos tipos (por ejemplo, funciones diferenciables a funciones diferenciables), pero parece poco probable.

¿Podría alguien ayudar?

Answer 1

Teorema (Weierstrass). Cualquier continuo $f:[0,1]\to R$ es el límite uniforme de una sucesión de polinomios reales ..... Ahora bien, cualquier $g:[0,1]\to R$ es Lipschitz-continuo con la constante Lipschitz $K=\max \{|g'(x)| :x\in [0,1]\}.$ Polinomios en $[0,1]$ son por tanto Lipschitz. Así que con la $\sup$ norma, el conjunto de Lipschitz-continuo $g:[0,1]$ es denso en $C[0,1]$ el espacio de todos los continuos $f:[0,1]\to R.$

Answer 2

No, el espacio no es completo, por la misma razón que la convergencia uniforme no es suficiente para preservar la suavidad: después de todo, un límite uniforme de funciones suaves no tiene por qué ser siquiera diferenciable. Como ejemplo de lo horrible que puede ser esto, tomemos la función de Weierstrass; es un límite uniforme de $C^{\infty}$ funciones que no son diferenciables en ninguna parte.

Para un ejemplo explícito, se puede definir una secuencia de funciones Lipschitz que convergen uniformemente a $\sqrt{x}$ una construcción es tomar una función lineal a trozos que conecte $(0, 0)$ , $(1/n, 0)$ , $(2/n, \sqrt{2/n})$ y luego $\sqrt{x}$ a la derecha de esto. Se comprueba fácilmente que esto converge uniformemente a $\sqrt{x}$ (la diferencia puntual es como máximo $\sqrt{2/n}$ ), pero las normas de Lipschitz explotan como $1/\sqrt n$ .

Si no te gustan las esquinas, se pueden alisar fácilmente.