¿A qué nos referimos cuando decimos que la Schur funciones forman una base.

Question

Esto siempre me molestó bastante. Cuando estamos examinando simétrica funciones (o los polinomios de si usted prefiere un número finito de variables), tenemos una opción fácil de la base con el monomio simétrica funciones. Como esta la base tiende a ser difícil de trabajar, luego miramos la completa homogénea simétrica y funciones de la escuela primaria simétrica funciones. Finalmente, vemos que para probar cosas (y enlace a la teoría de la Representación), es generalmente mejor para el trabajo en el Schur. Lo que no entiendo es por qué la Schur base es de hecho una base. No está claro porque tenemos las siguientes relaciones:

$$s_{(i)} = h_{i}$$ $$s_{\left(1^\ell\right)} = e_{\ell}$$

Esto muestra claramente que la completa homogénea simétrica y funciones de la escuela primaria simétrica funciones son casos especiales de las funciones de Schur. Sería esto no conducir a problemas de independencia de las funciones de Schur, como es claro que hay más funciones de Schur, a continuación, las descritas anteriormente, lo que podría significar el conjunto de funciones de Schur no es linealmente independiente?

Gracias por la ayuda, esto me ha llevado loco por un rato!

Answer 1

Creo que hay algo de confusión aquí

$$s_{(i)}=h_i$$ $$s_{(1^l)}=e_l$$

Esto muestra claramente que la completa homogénea simétrica y funciones de la escuela primaria simétrica funciones son casos especiales de las funciones de Schur.

Parece que estás confundiendo el homogéneos simétrica de la función $h_k$ definido para fijo $1\le k\le N$

$$h_k(x_1,\ldots , x_N)=\sum_{1\le i_1\le i_2\le\cdots\le i_k\le N} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$$

con la completa homogénea simétrica de la función $h_{\alpha}$

$$h_{\alpha}(x_1, \ldots,x_N)=\prod_{i=1}^{s}h_i(x_1,\ldots ,x_N)$$

donde $\alpha =(\alpha_1,\ldots ,\alpha_s)$ es una secuencia de enteros positivos.

Del mismo modo parece como si han confundido la primaria simétrica de la función $e_k$ definido para fijo $1\le k\le N$, escrito

$$e_k(x_1,\ldots , x_N)=\sum_{1\lt i_1\lt i_2\lt\cdots\lt i_k \lt N}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$$

con la completa primaria simétrica de la función $e_{\alpha}$

$$e_{\alpha}(x_1, \ldots,x_N)=\prod_{i=1}^{s}e_i(x_1,\ldots ,x_N)$$

aunque en la descripción anterior que parecen ser conscientes de que son diferentes.

Es cierto que para una partición $\alpha\vdash n$ la completa homogénea simétrica funciones de $h_{\alpha}$ y la completa primaria simétrica funciones de $e_{\alpha}$ formulario de bases; es no cierto que cualquiera de las homogénea simétrica funciones de $h_k$ o de la primaria simétrica funciones de $e_k$ formulario de bases.

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La prueba de que Schur polinomios forman una base consiste en mostrar que pueden ser transformados desde el monomio simétrica de la función $m_{\lambda}$ $\lambda\vdash n$ (que forman una base) con un menor triangular de Kostka de la matriz, por lo que es invertible, por lo tanto el $m_{\lambda}$ puede ser expresada en términos de una suma lineal de Schur polinomios así Schur polinomios también forman una base.

Answer 2

El $h_i$ son un caso especial de las funciones de Schur, pero el $h_i$ por sí mismos no forman una base. Se necesita el $h_\lambda$ para todas las particiones $\lambda$ para obtener una base de la homogeneidad de las simétrica funciones (definidas por $h_\lambda = \prod h_{\lambda_i}$), al igual que usted necesita el $s_\lambda$ todos los $\lambda$ para obtener una base a partir de las funciones de Schur. De igual manera para la primaria simétrica funciones.