Límite de una secuencia de $\mathbb R$

Question

Que $0 < x_1 < 1$ y $x_{n + 1} = x_n - x_n^{n + 1}$ $n \geqslant 1$.

Demostrar que el límite existe y encontrar el límite en términos de $x_1$.

Han demostrado la existencia, pero no pueden manejar la otra parte.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

No va a haber cierta superposición con @hice el post, pero lo que sigue es demasiado grande para caber en el campo de comentarios.

Para un tipo fijo y arbitrario $k \geqslant 2$, considera una secuencia $y_{n+1} = y_n - y_{n}^{n+k}$$y_1 = x_k$. Secuencia $\{y_n\}$ es la larga de $\{x_n\}$, por lo tanto el $x_\ast = \lim_{n \to \infty} x_n$ $ y_\ast =\lim_{n \to \infty} y_n$ son iguales. El valor limitante $x_\ast$ es una función de $x_1$, e $y_\ast$ es una función de $x_k$, así: $$ x_\ast(x_1) = y_\ast(x_k) $$ Unos primeros términos de la secuencia de $\{x_n\}$ leer: $$ x_2 = x_1 (1-x_1), \quad x_3 = x_1 (1-x_1) \left(1- \left(x_1 (1-x_1)\right)^2 \right) $$

Consider an auxiliary sequence $\{t_{n}\}$ defined as $t_{n+1} = t_n \left( 1 - t_1^{n+k} \right)$, $t_1 = y_1$. Because the sequence $y_n$ es decreciente, tenemos: $$ y_{n+1} = y_n \left( 1 - y_n^{n+k-1} \right) \geqslant y_n \left( 1 - y_1^{n+k-1}\right) $$ por lo tanto $t_{n} \leqslant y_n$. La secuencia de $t_n$ se resuelve fácilmente: $$ t_n = t_1 \prod_{m=1}^{n-1} \left(1-t_1^{m+k-1} \right) = t_1 (t_1^k, t_1)_{n-1} $$ donde $(a,q)_n$ indica el p-símbolo de Pochhammer.

Por lo tanto, para cada $k \geqslant 2$, $$ t_\infty = t_1 \cdot \left(t_1^k, t_1\right)_\infty = x_k \cdot \left(x_k^k, x_k \right)_\infty \leqslant y_\ast = x_\ast $$ El mayor es el $k$ elegido, el cierre de la $t_\ast$ llega a $x_\ast$.

Aquí es un número de verificación en Mathematica. Definir el código de $x_\ast$:

xiter[{xn_, n_}] := {xn - xn^(n + 1), n + 1};
xstar[x1_Real] := 
 First[NestWhile[xiter, {x1, 1}, First[#1] > First[#2] &, 2]]

Ahora para $y_\ast$:

yiter[k_][{yn_, n_}] := {yn - yn^(n + k), n + 1};
ystar[k_?NumberQ][y1_Real] := 
 First[NestWhile[yiter[k], {y1, 1}, First[#1] > First[#2] &, 2]]

y para $t_\ast$:

tstar[k_?NumberQ][t1_Real] := t1 QPochhammer[t1^k, t1]

Para la comparación, este es el @hicieron del límite inferior:

didstar[x1_Real] := 
 Block[{x2 = x1 (1 - x1)}, x2 (1 - x2 - x2^2)/(1 - x2)]

y el código para $x_n$ como una función de la $x_1$:

xn[k_Integer][x1_] := 
 First[RecurrenceTable[x[n + 1] == x[n] - x[n]^(n + 1) && x[1] == x1, 
   x, {n, k, k}]]

Aquí están las parcelas de las diferencias entre el $x_\ast$ y aproximaciones en naturales y las escalas logarítmicas:

Answer 2

Claramente puede escribir cada término $x_{n}$ como un polinomio en $x=x_1$, y debe ser obvio que tales polinomios $x + O(x^2)$. Entonces la diferencia de $x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{n+1}$ es $O(x^{n+1})$, y por lo tanto el coeficiente de $x^{k}$ es el mismo para todas las $x_{n}$ $n\ge k$. Esto nos permite determinar la expansión de series de potencias de $x_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}$: es x_\infty(x) $$ = x-x^2-x^3+2x^4+3x^6-20x^7+30x^8-11x^9-31x^{10}+228x^{11}+\dots $$ el OEIS no tiene nada que esta secuencia particular.

Answer 3

Tenga en cuenta que $x_2=x_1(1-x_1)$ $0\lt x_1\lt1$ $0\lt x_2\lt1/4$, que $(x_n)_{n\geqslant1}$ está disminuyendo por lo tanto, en particular $(x_n)_{n\geqslant1}$ converge a un valor $\ell(x_1)$ $[0,x_1)$ y que $x_n\leqslant x_2$ cada $n\geqslant2$. Por lo tanto, cada $n\geqslant2$, $x_{n+1}\geqslant x_n-x_2^{n+1}$, que implica cada % que $x_n\geqslant x_2-x_2^3-\cdots-x_2^n$ $n\geqslant2$y que $\ell(x_1)\geqslant x_2-x_2^3/(1-x_2)=x_2(1-x_2-x_2^2)/(1-x_2)$por lo tanto el $\ell(x_1)\gt0$%.

Auto-cita:

Para obtener un valor exacto del límite $\ell(x_1)$ como una función explícita de $x_1$ es más difícil y, para aventurarse a una suposición, probablemente no es factible.