¿Por qué es un círculo de 1-dimensional?

Question

En el libro que estoy leyendo, se dice que una dimensión es el número de parámetros independientes necesarios para especificar un punto. Con el fin de hacer un círculo, se necesitan dos puntos para especificar el valor de $x$ y $y$ la posición de un círculo, pero, al parecer, un círculo puede ser descrito sólo con la $x$-coordinar? ¿Cómo es esto posible sin el $y$-coordinar también?

Answer 1

Supongamos que estamos hablando de un círculo unitario. Podríamos especificar cualquier punto como: $$(\sin(\theta),\cos(\theta))$$ que utiliza un solo parámetro. También podemos observar que hay sólo 2 $$ puntos con un valor de $x$ de coordenadas: $$(x,\pm\sqrt{1-x^2})$$ y nosotros generalmente no debería considerar la posibilidad de tener que especificar un signo como un parámetro adicional, ya que es discreto, mientras que sólo tenemos en cuenta parámetros continuos para la dimensión.

Dicho esto, una curva de Hilbert o de orden Z de la curva de parametriza un cuadrado en sólo un parámetro, pero ciertamente no decir un cuadrado es unidimensional. La definición de la dimensión a la que te han dado es una especie de sloppy - en realidad, el hecho de que el círculo es de dimensión uno puede ser mucho más para decir "Si te acercas muy cerca de un círculo, se ve básicamente como una línea" y esto sucede, más o menos, significa que puede ser paramaterized en una variable.

Answer 2

Continuando ploosu2, el círculo puede ser parametrizado con un parámetro (incluso para aquellos que no han estudiado funciones trigonométricas)... $$ x = \frac{2}{1+t^2},\qquad y=\frac{1-t^2}{1+t^2} $$

Answer 3

Oficialmente, es unidimensional porque en cualquier momento, el espacio de la tangente es un one-dimensional espacio vectorial.

Extraoficialmente, es unidimensional porque si te acercas lo suficiente en un pequeño fragmento de ella, es indistinguible de un segmento de la recta real.

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Lo siento, tengo la mala costumbre de contestar a una pregunta del título y no precisamente respondiendo a la pregunta en sí. Usted dice que es necesario un valor de $x$ y $y$ de valor para identificar un círculo. Así que usted es la identificación de su centro. A pesar de que ha acaba de nombrar a un punto con dos números en su dirección, se han identificado sólo $0$-dimensional cosa en este punto. Es sólo un punto, no hay ninguna dirección de viaje.

Para identificar el círculo, sería necesario un tercer número: la radio. Y el círculo consistirá en no de que el punto que se había identificado anteriormente, pero en lugar de todos los puntos que son de ese radio de su centro.

Esta colección de puntos pueden ser parametrizadas usando sólo una de las variables independientes, como pocas otras respuestas han demostrado.

Answer 4

Cuando el libro dice, "una dimensión es el número de parámetros independientes necesarios para especificar un punto" es hablar acerca de los parámetros necesarios para especificar un punto en el círculo. Sólo se necesita uno para describir qué punto en un círculo determinado.

Eso es diferente de lo que se necesita para describir un círculo. Un círculo se extiende en dos dimensiones, pero con un único punto en que puede ser descrito con un único valor.

Answer 5

Se puede parametrizar con el parámetro ángulo $t$ $(\sin(t), \cos(t))$.

Si desea utilizar el valor de $x$-coordinar como un parámetro, entonces usted puede solucionar $y$ de $x^2+y^2 = r^2$. Pero, a continuación, sólo tiene una mitad del círculo, ya que usted debe elegir el signo de $y$.