Preguntando a la claridad de la solución a $3(b)$:
Deje $\mathscr{A}$ ser una sigma-álgebra. Mostrar que si $|\mathscr{A}| = ∞$ $\mathscr{A}$ es incontable. (Sugerencia: Usted necesita muestran que hay una secuencia infinita de no-vacío discontinuo medibles conjuntos. Cómo ? Tomar cualquier conjunto no vacío $A ∈ \mathscr{A}$. A continuación, cualquiera de $A$ o $A^c$ contiene una infinidad de conjuntos medibles. Continuar por la inducción).
(Ver http://homepages.uconn.edu/benari/math5111s09/restricted/hw1_R1sol.pdf)
La solución va:
Primero construimos una secuencia infinita de vacío discontinuo medibles conjuntos. A continuación, se utiliza para mostrar que $A$ contiene una cantidad no numerable de conjuntos. Deje $A_1 ∈ \mathscr{A}$, que no es ni $∅$ ni $X$. WLOG $A^{c}_1$ tiene un número infinito de subconjuntos medibles (asegúrese de que usted entender por qué. Esto se deduce de la hipótesis de que es infinito). Continuar por la inducción, suponiendo que $B_n = \{\bigcup_n^{j=1} A_j\}^c$ contiene un número infinito de subconjuntos medibles, recogemos vacío $A_{n+1} ⊂ B_n$ $\mathscr{A}$ tal que $B_n-A_{n+1}$ tiene infinitamente muchos subconjuntos medibles. Por construcción $A_1$, . . . son medibles y discontinuo. Ahora, para cada subconjunto $I ⊂ N$, definir $A_I = ∪_{n∈I}A_n$. Claramente, $A_I ∈ \mathscr{A}$. Tenga en cuenta que la asignación de $I → A_I$ de $P(N)$ $\mathscr{A}$es uno-a-uno. Desde $P(N)$ es incontables, la reivindicación de la siguiente manera.
Me preguntaba si esta solución es de fiar. La prueba sostiene que $A^{c}_1$ tiene un número infinito de subconjuntos medibles. Sin embargo, podría ser infinitamente muchos conjuntos que se cruza con $A_1^c$$A_1$, pero estos juegos no están incluidos en cualquiera de las $A_1^c$ o $A_1$. Alguien se ha planteado que este en reddit (que creo que no tiene sentido):
https://www.reddit.com/r/cheatatmathhomework/comments/1mgj91/analysis_sequence_in_sigma_algebra/
