Si $F\cong R^n$, ¿por qué es $1\otimes \psi\colon F\otimes_R L\to F\otimes_R M$ inyectiva?

Question

Supongamos que $\psi\colon L\to M$ es un inyectiva homomorphism de $R$-módulos de e $F\cong R^n$. Me gustaría mostrar que $1\otimes \psi\colon F\otimes_R L\to F\otimes_R M$ también es inyectiva (este es un paso en la prueba de que el módulo son planas). Sé que $F\otimes_R L = R^n\otimes_R L \cong L^n$, y, asimismo,$F\otimes_R M \cong M^n$. Según D&F, página 401,

bajo estas isomorphisms el mapa de $1\otimes \psi\colon F\otimes_R L\to F\otimes_R M$ es sólo el natural mapa de $L^n$ $M^n$inducida por la inclusión $\psi$ en cada componente.

Estoy teniendo un tiempo difícil ver por qué $1\otimes\psi$ es el mapa de $L^n$ $M^n$inducida por la inclusión $\psi$ en cada componente. Por lo que yo entiendo, $1\otimes\psi$ es la única $R$-módulo homomorphism la satisfacción de $$ (1\otimes\psi)(f\otimes l) = f\otimes \psi(l). $$ Desde $F\cong R^n$ supongo que podría escribir el mapa de arriba como $$ (1\otimes\psi)((r_1,\dots,r_n)\otimes l) = (r_1,\dots,r_n)\otimes \psi(l). $$ Pero todavía no estoy seguro de que el hecho de que $1\otimes\psi$ es inyectiva. (Por cierto, no he aprendido categoría de teoría, sin embargo, por lo que estoy tratando de ver esto sin apelar a las ideas de la categoría de teoría.)

Answer 1

En cuanto a cómo el mapa de $1 \otimes \psi$ actúa en $F \otimes L \cong L^n$, ayuda a pensar sobre el isomorfismo $F \otimes L \overset{\omega}{\to} L^n$, con el fin de dejar claro que el siguiente diagrama conmuta: $$\requieren{AMScd} \begin{CD} F \otimes L @>{1 \otimes \psi}>> F \otimes M \\ @V{\omega}V{\sim}V @V{\omega}V{\sim}V \\ L^n @>{\psi^n}>> M^n \end{CD}$$ Usted puede leer acerca de cómo pensar la $\omega$ aquí en la página 17 de Conrad notas, por ejemplo.

En cuanto a por qué el mapa es inyectiva, no debería ser demasiado difícil convencerse de que un mapa de $L^n \to M^n$ que es sólo una $n$veces producto de la inyectiva mapas en sí es inyectiva. (No hay más problema que viene desde el tensor de productos ahora.) Debido a que los lados del diagrama anterior se isomorphisms, inyectividad de $\psi^n$ implica la inyectividad de $1 \otimes \psi$.