Bajo qué condiciones es el mapa exponencial en una Mentira álgebra inyectiva?

Question

Deje $G$ ser una Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$ y deje $\exp :\mathfrak{g}\rightarrow G$ ser el mapa exponencial.

En su blog, Terrence Tao notas que si una Mentira grupo no es simplemente conectado, a continuación, $\exp$ no va a ser inyectiva. Por el contrario, es cierto que si una Mentira grupo es simplemente conectado, a continuación, $\exp$ es inyectiva? Si no, ¿qué es un contra-ejemplo?

Answer 1

$SU(2)$ simplemente se conecta, pero su exponencial mapa no es inyectiva, es una doble cubierta de $SO(3)$, por lo que la rotación de $4\pi$ alrededor de cualquier eje es el de la identidad.

Answer 2

El blog ya notas que la inyectividad falla siempre $G$ contiene $S^1$ (Mentira?) de los subgrupos, en particular cuando $G$ (positiva-dimensional y) compacto.