Distinta función con la misma derivada

Question

Hoy en la escuela me encontré con un problema cuando el profesor nos pidió diferenciar la siguiente función:

$$f(x)=\arctan\left(\frac {x-1}{x+1}\right)$$

Con las reglas básicas de diferenciación llegué a un resultado confuso:

$$f'(x)=\frac 1{1+x^2}$$

Y el profesor estuvo de acuerdo, al igual que Wolfram (lo comprobé en casa), pero me sorprendió que es la misma derivada que

$$f(x)=\arctan x$$ $$f'(x)=\frac 1{1+x^2}$$

Así que me pregunto: ¿está mal de alguna manera? ¿Son las dos funciones iguales de hecho? Si integro $\frac 1{1+x^2}$, ¿cuál de las dos debería elegir? ¿Hay otros ejemplos de funciones diferentes con la misma derivada?

Answer 1

Nota:

$$\tan(A-B)=\frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A \tan B}$$

Si $x=\tan A$ y $\tan B=1$, entonces obtienes:

$$\tan(A-B)=\frac{x-1}{x+1}$$

Así que $$\arctan x - B = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$$ Así que las funciones difieren por una constante.

(Bueno, lo suficientemente cerca - de hecho difieren por una constante localmente, donde ambas funciones están definidas. Las diferencias serán constantes en $(-\infty,-1)$ y en $(-1,\infty)$, pero no necesariamente en toda la recta real.)

Answer 2

¿Te sorprende que $3-2=10-9$? ;-) Supongo que no.

¿Te sorprende el hecho de que $f(x)=x^2$ y $g(x)=x^2+1$ tengan la misma derivada? En absoluto, creo.

¡Lo mismo ocurre en este caso, y no es el único! ¡Por ejemplo, $f(x)=\arcsin x$ y $g(x)=-\arccos x$ tienen la misma derivada! También lo hacen $f(x)=\log x$ y $g(x)=\log(3x)$.

La conclusión que puedes sacar es que las dos funciones difieren por una constante en cada intervalo donde ambas están definidas. Dado que $\arctan\frac{x-1}{x+1}$ está definida para $x\ne-1$, sabes que existen constantes $h$ y $k$ tales que $$\begin{cases} \arctan\dfrac{x-1}{x+1}=h+\arctan x & \text{para $x<-1$}\\[12px] \arctan\dfrac{x-1}{x+1}=k+\arctan x & \text{para $x>-1$} \end{cases}$$

Ahora puedes calcular $h$ y $k$, evaluando el límite en $-\infty$ y en $\infty$: $$\frac{\pi}{4}=\lim_{x\to-\infty}\arctan\dfrac{x-1}{x+1}= \lim_{x\to-\infty}(h+\arctan x)=h-\frac{\pi}{2}$$ y $$\frac{\pi}{4}=\lim_{x\to\infty}\arctan\dfrac{x-1}{x+1}= \lim_{x\to\infty}(k+\arctan x)=k+\frac{\pi}{2}$$