¿Qué significa el caso de $\operatorname{Spec}C^{\infty}(M)$ ¿qué relación tiene la teoría de esquemas con los anillos generales?

Question

Supongo que a mucha gente con conocimientos previos de geometría diferencial le habrá surgido esta pregunta ingenua al estudiar esquemas por primera vez.

La categoría de las variedades reales lisas compactas es contra-equivalente a la categoría de los anillos lisos sobre ellas $C^{\infty} (-)$ . El funtor inverso al funtor de sección global toma ideales maximales y hace gavillas de los anillos lisos. Por un argumento de partición de la unidad, el anillo de secciones globales determina la gavilla, así que estamos bien. (Al menos, eso espero. No es algo que haya encontrado escrito explícitamente en ningún libro).

Por otro lado, el famoso resultado para esquemas da la equivalencia $\mathsf {Aff} \cong (\mathsf{Ring})^{op}$ . Esto sugiere que la forma correcta y uniforme de pensar en anillos geométricamente es estudiando el functor $Spec$ .

Hay muchas razones por las que estudiar $\operatorname{Spec}C^{\infty}(M)$ no es tan fructífero. Aunque mi pregunta es de índole más filosófica, también me gustaría que me respondiera.

Pregunta: Dado lo que sabemos sobre la inadecuación de la teoría de esquemas para el estudio de anillos lisos, ¿por qué deberíamos creer que es la generalización correcta para la geometría algebraica sobre anillos arbitrarios?

Personalmente, (y espero que esté bien expresar mi opinión a pesar de mi ignonrancia) creo que este es un buen argumento para estudiar espacios generales localmente anillados (De los cuales los esquemas son una parte pero no necesariamente el centro)... ¿Que opinas?

Answer 1

Podría valer la pena ser aún más ingenuo: dada alguna categoría $\mathcal{C}$ de con alguna estructura algebraica, definir la categoría de afines $\mathcal{C}$ -esquemas para ser $\mathcal{C}^{op}$ .

Por ejemplo, hay un conocido artículo de Toën y Vaquié en el que dejan que $\mathcal{C}$ sea la categoría de monoides conmutativos sobre una categoría monoidal simétrica $\mathcal{A}$ por ejemplo, si $\mathcal{A}$ es la categoría de grupos abelianos con productos tensoriales, entonces $\mathcal{C}$ es la categoría de anillos conmutativos.

No tengo una referencia a mano, pero creo que otros autores han modificado con éxito esta construcción para objetos de tipo analítico. Tanto si se puede extender directamente a las variedades lisas como si no (yo creo que sí), esto debería proporcionar cierta motivación filosófica.

En cualquier caso, hay muchas herramientas disponibles, en particular el enfoque del "functor de puntos", que nos permiten hacer geometría "pegando" elementos de $\mathcal{C}^{op}$ en una topología Grothendieck adecuada. Entonces la pregunta es: ¿cómo sabemos que este planteamiento debe tener algo que ver con los espacios topológicos?

Una forma es observar que la noción de "punto" puede recuperarse categóricamente. Diremos que un objeto $P$ en nuestra categoría de esquemas afines es una punto si cada morfismo $P\to X$ donde $X$ no es el objeto inicial, es un monomorfismo. Un punto de un objeto $X$ es un morfismo $P\to X$ para algún punto $P$ .

Un buen resultado es que, si $\mathcal{C}$ es la categoría de anillos conmutativos, entonces un anillo $K$ es un campo si y sólo si es un punto en $\mathcal{C}^{op}$ . Por tanto, existe una conexión inmediata entre los morfismos $R\to K$ para $K$ un campo, y puntos de $\operatorname{Spec} R$ . Hasta una equivalencia adecuada (necesaria para garantizar que la colección de puntos es un conjunto), un morfismo de $R$ a un campo es exactamente un ideal primo de $R$ .

Una breve nota más: Supongamos que hacemos algo así para dos categorías $\mathcal{C}'\subset \mathcal{C}$ y supongamos que aplicamos el functor espectro equivocado, es decir, tomamos un objeto de $\mathcal{C}'$ y considerar el esquema afín asociado en $\mathcal{C}^{op}$ . En general, puede tener demasiados puntos, porque hay objetos fuera de $\mathcal{C}'$ que se convierten en puntos, o puede que no tenga suficientes puntos, porque un objeto de $\mathcal{C}'$ puede convertirse en un punto de una categoría y no de la otra. Así que, de alguna manera, no debería sorprender demasiado que $\operatorname{Spec}C^{\infty} (M)$ tiene todos los puntos "correctos", procedentes de morfismos $C^{\infty} (M) \to\mathbb{R}$ y muchos puntos "erróneos", procedentes de morfismos $C^{\infty} (M) \to K$ donde $K$ es una extensión trascendental de $\mathbb{R}$ que no tiene nada que ver con el análisis.

Answer 2

El objetivo de la teoría de esquemas no es estudiar anillos conmutativos arbitrarios. La teoría de esquemas se inventó como herramienta para responder a las preguntas geométricas que la gente se hacía sobre las variedades.

He aquí un ejemplo. El espectro primo de $\mathbb{F}_2^{\mathbb{N}}$ resulta ser bastante complicado: se trata de la compactación Stone-Cech $\beta \mathbb{N}$ también conocido como el espacio de ultrafiltros en $\mathbb{N}$ . Se trata de una respuesta "no geométrica": $\text{Spec } \mathbb{F}_2^{\mathbb{N}}$ es el coproducto, en la categoría de afín esquemas, de $\mathbb{N}$ copias de $\text{Spec } \mathbb{F}_2$ por lo que la respuesta geométrica "debería" ser que este espectro se parece a $\mathbb{N}$ .

Obtenemos la respuesta que esperamos tomando el coproducto en la categoría de esquemas en su lugar: en otras palabras, la inclusión de esquemas afines en esquemas no preserva los coproductos infinitos. Así que el paso de esquemas afines a esquemas arbitrarios no es totalmente inocente: hace algo al menos a algunos colímitos para hacerlos más "geométricos".