Si $R$ es un anillo numérico con campo numérico $K$ y $f$ es un polinomio mónico sobre $R$ entonces quiero demostrar que cualquier raíz de $f$ es un número entero algebraico.
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Una pista: $\alpha$ es integral sobre $A$ si y sólo si $A[\alpha]$ es una entidad finitamente generada $A$ módulo. Obsérvese también que cualquier submódulo de un módulo finitamente generado $\Bbb Z$ (o más generalmente un módulo sobre cualquier anillo noetheriano) está generado finitamente.
Esto es suficiente para demostrar de forma más general que si $A\subseteq B\subseteq C$ , $B$ integral sobre $A$ y $C$ integral sobre $B$ entonces $C$ integral sobre $A$ .
Ya que exiges un polinomio, te doy uno. :)
El siguiente método lo encontré en el libro Conferencias sobre la teoría de los enteros algebraicos por Hecke .
Si $\alpha$ satisface una ecuación polinómica $f(x)=0$ con $f=\sum_0^na_ix^{n-i}\in R[x]$ y $a_0=1$ entonces estos $a_i$ son enteros algebraicos sobre $R$ es decir, hay polinomios mónicos en $g_i\in\mathbb Z[x]$ tal que $g_i(a_i)=0$ . Entonces dejemos que $\{a_{ij}\}$ para cada $i=0,\cdots,n-1$ sea el conjunto de todas las raíces de $g_i$ .
Ahora llegamos por fin a nuestro polinomio: $$h(x):=\prod_{j_1,\cdots,j_n}(x^n+a_{1,j_1}x^{n-1}+\cdots+a_{n,j_n}).$$ Por definición, encontramos que $h(\alpha)=0$ y que los coeficientes de $h$ son funciones simétricas en $a_{ij}$ Por lo tanto, en $\mathbb Q\cap R=\mathbb Z.$ Así, $\alpha$ es un número entero algebraico. Q.E.D.
Cualquier punto inadecuado espera una localización.
