Dejemos que $Z(R) = \{ a \in R : ax = xa,\text{ for all $ x \in R $}\}$
Es $Z(R)$ un ideal de $R$ ?
Intento: Ya he demostrado que $Z(R)$ es un subring de $R$ . Yo diría que sí, ya que si $x \in R$ entonces $xa$ es un elemento de $Z(R)$ y si $a\in Z(R)$ entonces tenemos $ax\in Z(G)$ . Así que por definición es un ideal para $R$ .
Por favor, ¿alguien puede dar alguna opinión? Gracias.
Una pista: Si $I$ es un ideal en un anillo $R$ y $1\in I$ entonces $I=R$ . Además, se puede demostrar que $1\in Z(R)$ . Por lo tanto, $Z(R)$ es un ideal si y sólo si $Z(R)=R$ . ¿Puedes usar esto para encontrar un contraejemplo?
La pista anterior nos dice que $Z(R)$ es un ideal de $R$ si y sólo si $R$ es un anillo conmutativo. Así que dejando que $R$ sea su anillo no conmutativo favorito (digamos el anillo de $n\times n$ matrices sobre $\Bbb C$ ) da un contraejemplo.
Estoy de acuerdo con las dos primeras frases. ¿Cómo implica esto la tercera frase? Además, no puedo "usar esto para encontrar un contraejemplo" ( supongo que te refieres a encontrar un anillo R de modo que el Z(R) NO sea un ideal de R). ¿Podría dar tal contraejemplo?
Si $I$ es un ideal en un anillo $R$ entonces $1\in I$ si y sólo si $I=R$ . Pero siempre es cierto que $1\in Z(R)$ . De ello se desprende que si $Z(R)$ es un ideal, entonces $Z(R)=R$ desde $1\in Z(R)$ . Por supuesto, si $Z(R)=R$ entonces $Z(R)$ es un ideal de $R$ . Por lo tanto, $Z(R)$ es un ideal de $R$ si y sólo si $Z(R)=R$ .
¿Pero esto no supone que R tiene una identidad multiplicativa,1? ¿Qué pasa si R no tiene tal elemento?
Para mostrar $I = Z(R)$ es un ideal, necesita demostrar dos cosas: (1) $I$ es un subgrupo aditivo de $R$ . (2) $I$ absorbe $R$ en ambos lados. Ya has mostrado (2). La forma más rápida de llegar a (1) es mostrar que $I$ es cerrado bajo el mapa binario $f(x,y) = x - y$ . Entonces a partir de eso se puede demostrar que efectivamente se tiene un grupo aditivo.
Dejemos que $x, y \in I$ . Entonces, para cualquier $a \in R$ , $a(x-y) = ax - ay = xa - ya = (x - y) a$ de los axiomas del anillo, por lo que $I$ se cierra bajo la sustracción. QED
$a \in R , x \in Z(R) \implies (ax)b = a(xb) = abx \neq b(ax)$ necc. Así que te equivocaste en la primera parte. Pero es un subgrupo aditivo.
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¿Ha intentado hacer esto en un ¿ejemplo?
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No. Estaba pensando en usar mi prueba de que Z(R) es un subring de R.
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Bueno... haga un ejemplo entonces ¡!
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"¿Es $Z(R)$ y el ideal de $R$ ? Yo diría que sí, ya que si $x\in R$ entonces $xa$ está en $Z(R)$ ..." Una prueba no es así: eso es simplemente afirmar que lo que se quiere demostrar es cierto.