Cómo probar esta desigualdad $ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}|A_i|\cdot |A_i \cap A_j|\geq \frac{1}{mn}\left(\sum_{i=1}^{m}|A_i|\right)^3$

Question

Deje $A_1,A_2,\cdots,A_m$ $m$ subconjuntos del conjunto de tamaño $n$ . Demostrar que $$\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}|A_i|\cdot |A_i \cap A_j|\geq \frac{1}{mn}\left(\sum_{i=1}^{m}|A_i|\right)^3.$$

Alguien sabe lo que esta desigualdad de fondo? El artículo estudia estos problemas? Gracias.

Idea: parece que esta desigualdad con La suma puede ser escrito en términos de funciones de los indicadores como solucionarlo? Cómo es?

Answer 1

Sugerencia. Deje $\{1,2,\dots,n\}$ ser el conjunto dado de tamaño $n$ y deje $X_k:=\{i:k\in A_i\}$$k=1,\dots,n$. A continuación, mostrar que $$\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}|A_i|\cdot |A_i\cap A_j|=\sum_{i=1}^{m}\sum_{k\in A_i}|A_i||X_k|=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i\in X_k}|A_i||X_k|.$$ Por último, la conclusión de la siguiente manera por Hölder la desigualdad con tres funciones, $$ \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{m} \sum_{k\in A_i}\frac{1}{|A_i|}\right)}_{m}\cdot\underbrace{\left(\sum_{k=1}^{n}\sum_{i\in X_k}\frac{1}{|X_k|}\right)}_n\cdot\underbrace{\left(\sum_{i=1}^{m} \sum_{k\in A_i}|A_i||X_k|\right)}_{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}|A_i|\cdot |A_i\cap A_j|}\geq \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{m} \sum_{k\in A_i}1\right)^3}_{\left(\sum_{i=1}^{m}|A_i|\right)^3}.$$