¿Dónde está mi aritmética desordenada?

Question

No puedo encontrar mi error tonto.

Estoy calculando la integral definida desde los primeros principios de $2x+3$ con límites $x=1$ a $x=4. ¡No es gran cosa! Pero por alguna razón no puedo encontrar dónde se arruinó mi aritmética. (Quizás porque son las 2:46am @_@).

Entonces

$\delta x=\frac{3}{n}$ y $x_i^*=\frac{3i}{n}$

donde $x_i^*$ es el punto final derecho de cada rectángulo bajo la curva.

Así que la suma de las áreas de los $n$ rectángulos es

$\Sigma_{i=1}^n f(\delta xi)\delta x$

$=\Sigma_{i=1}^n f(\frac{3i}{n})\frac{3}{n}$

$=\Sigma_{i=1}^n (2(\frac{3i}{n})+3)\frac{3}{n}$

$=\frac{3}{n}\Sigma_{i=1}^n (2(\frac{3i}{n})+3)$

$=\frac{3}{n}\Sigma_{i=1}^n ((\frac{6i}{n})+3)$

$=\frac{3}{n} (\frac{6}{n}\Sigma_{i=1}^ni+ 3\Sigma_{i=1}^n1)$

$=\frac{3}{n} (\frac{6}{n}\frac{n(n+1)}{2}+ 3n)$

$=\frac{18}{n}\frac{(n+1)}{2}+ 9$

$=\frac{9(n+1)}{n}+ 9$

$\lim_{n\to\infty} \frac{9(n+1)}{n}+ 9 = 18$

Pero la respuesta correcta es 24.

Answer 1

Quieres $$f\left(1+\frac{3i}{n}\right).$$

El $+3$ en la tercera línea (y después) cambiará a $+5$.

Answer 2

Sugerencia: $$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_1^nf(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}$$

Answer 3

El problema se encuentra en el mismo inicio. Tomaste

$$x^{*}_i = \frac{3i}{n}$$.

Pero esto está mal. Recuerda, estás buscando los puntos finales correctos de la partición de $[1, 4]$. Así que en $i = n$, esto debería ser igual a 4... pero no lo es. Y en $i = 1$, esto debería ser igual a $1 + \frac{3}{n}$... pero no lo es. Quieres

$$x^{*}_i = 1 + \frac{3i}{n}$$.

Intenta ahora. Debería funcionar.

(Porque, el punto derecho del primer subintervalo será $1 + \delta x$, ya que el punto izquierdo es 1 y el ancho del subintervalo es $\delta x$. El punto derecho del segundo subintervalo entonces será $1 + 2 \delta x$, y así sucesivamente, hasta el último subintervalo, con punto derecho $1 + n \delta x = 4$.)