Una secuencia descendente de conjuntos con medida exterior 1

Question

Demuestre que existe una secuencia de conjuntos $A_n\subseteq [0,1]$ con la medida exterior 1 ( $\mu^*(A_n)=1$ por cada $n$ ), por lo que $A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq...$ y $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\varnothing$ .

A partir de estas condiciones, los conjuntos no deben ser medibles, por lo que mi orientación es utilizar $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ de alguna manera (como la construcción estándar de un conjunto no medible), pero no puedo averiguar cómo.

¿Alguna idea?

Answer 1

La familia $\mathcal F$ de subconjuntos abiertos no vacíos de $[0,1]$ de medida $< 1$ tiene cardinalidad $c$ para que pueda estar bien ordenado de manera que cada miembro de $\mathcal F$ tiene menos de $c$ predecesores.

Dado que el complemento en $[0,1]$ de cualquier miembro de $\mathcal F$ tiene cardinalidad $c$ podemos elegir por inducción transfinita, para cada $U \in \mathcal F$ un conjunto contablemente infinito $S(U) =\{s_1(U), s_2(U), \ldots \} \subset [0,1] \backslash U$ tal que $S(U)$ es disjunta de $S(V)$ para cada predecesor $V$ de $U$ .

Dejemos que $$ A_n = \bigcup_{U \in \mathcal F} \{s_j(U) \; : \; j \ge n\}$$

Tiene medida exterior $1$ porque para cada $U \in \mathcal F$ contiene puntos de $[0,1] \backslash U$ . Por construcción, $A_{n+1} \subset A_n$ . Cada miembro de $A_1$ es $s_j(U)$ para algunos únicos $U \in \mathcal F$ y algunos $j$ y, por tanto, no está en $A_n$ para $n > j$ . Eso dice $\bigcap_n A_n = \emptyset$ .