Me di cuenta de que si uno escribe $$\exists X:(\varnothing\in X\space\wedge\space(n\in X\rightarrow n\cup \{n\}\in X)) $$ Como el axioma de infinitud, uno debe definir Los números Naturales como el conjunto más pequeño que satisface la condición anterior. Pero mediante la sustitución de la condicional con un iff, es decir: $$\exists\mathbb{N}!:(\varnothing\in\mathbb{N}\space\wedge\space(n\in\mathbb{N}\leftrightarrow n\cup\{n\}\in\mathbb{N}))$$ Simplemente se podría llamar el conjunto de proclamar a existir y ser único por encima de los números naturales. Estoy en lo cierto? ¿Hay alguna razón por la que el Axioma del Infinito no se puede reemplazar con esta afirmación?
Respuesta
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Su condición propuesta no define $\mathbb N$ únicamente.
Por ejemplo, también es satisfecho por $V_\omega$, el conjunto de todos los hereditariamente finitos conjuntos.
Nos podría tomar como un axioma de que existe un conjunto inductivo que no tiene ningún subconjunto inductivo, y que sería único. Pero que parece sólo ser mayor complejidad que en realidad no comprar nada, dado que tenemos el axioma de separación a disposición de todos modos.
Alternativamente podemos tomar: $$\exists X: X=\{\varnothing\}\cup \{n\cup\{n\}\mid n\in X\}$$ que en la presencia de la Axion de Regularidad sería localizar $\omega$ únicamente. (Es claramente inductivo, y si $Y$ es cualquier subconjunto inductivo de la misma, a continuación, $Y=X$ o más $X\setminus Y$ violaría la Regularidad).
