Si $X$ es separable, entonces $\mathcal{F}(X)$ es también separable, donde $\mathcal{F}(X) = \overline{span \{ \delta_x : x \in X \}}$

Question

Supongamos $X$ es un espacio de Banach. Para cualquier $x \in X$, definir el conjunto $\mathcal{F}(X) = \overline{span \{ \delta_x : x \in X \}}$ donde $\delta_x(f)=f(x)$ todos los $f \in$ Labio$_0(X)$.

El conjunto Labio$_0(X)$ es el conjunto de todos los reales valores de funciones de Lipschitz que se desvanecen en $0$.

Tenga en cuenta que $\delta_x$ es una evaluación funcional en el Labio$_0(X)$.

Me pregunto si la siguiente afirmación es verdadera o no.

Si $X$ es separable, entonces $\mathcal{F}(X)$ es también separable.

La afirmación anterior está tomada de aquí, así que creo que la afirmación es verdadera. Pero no tengo idea sobre cómo demostrarlo.

ACTUALIZACIÓN: El siguiente es mi intento:

Tome el conjunto $\{ \delta_x : x \in X \}$ con la norma $\| \delta_x \| = \| x \|$. Tenga en cuenta que $\{ \delta_x : x \in X \}$ es isométrico a $X$. Por lo tanto, $\mathcal{F}(X)$ es separable.

Es correcto?

Answer 1

Supongamos $X$$\mathbb{R}$.

Deje $A$ denotar una contables subconjunto denso de $X$. Deje $y$ ser un elemento de ${\cal F}(X)$, y deje $\varepsilon>0$. Por definición, existe una combinación lineal finita $\sum_{k=1}^n a_k \delta_{x_k}$ que pertenece a una bola abierta de radio $\varepsilon/2$$y$$\mathrm{Lip}_0(X)^*$. Para cada $f$, y cada una selección de $z_k\in A$: $$\left|\left(\sum_{k=1}^n a_k(\delta_{x_k}-\delta_{z_k})\right)(f)\right|=\left|\sum_{k=1}^n a_k(f(x_k)-f(z_k))\right|\leq||f||_{Lip}\sum_{k=1}^n|a_k|\,\|x_k-z_k\|_X$$ Por lo tanto, $$\left\|\sum_{k=1}^n a_k(\delta_{x_k}-\delta_{z_k})\right\|_{\mathrm{Lip}_0(X)^*} \leq \sum_{k=1}^n|a_k| \, \|x_k-z_k\|_X$$ Como $A$ es denso en $X$, se puede elegir $z_k$, de modo que la r.h.s es menor que $\varepsilon/2$. De ello se deduce que la distancia entre el $\sum_{k=1}^n a_k\delta_{z_k}$ $y$ $\mathrm{Lip}_0(X)^*$ es en la mayoría de las $\varepsilon$. Una mayor aproximación argumento muestra que el conjunto de combinaciones lineales finitas $\sum_{k=1}^nr_k\delta_{z_k}$ con rational $r_k$'s, a es denso en ${\cal F}(X)$. Como este conjunto es contable, se deduce que el ${\cal F}(X)$ es separable.