Mi profesor dijo que $2\pi$ radianes no es exactamente $360^{\circ}$ ?

Question

Hace unos días, mi profesor de matemáticas (le tengo mucha fe) dijo que $2\pi$ radianes no es exactamente $360^{\circ}$ . Su razonamiento es el siguiente.

1. $\pi$ es irracional (y trascendental).
2. $360$ es un número entero.
3. Dado que ningún múltiplo de $\pi$ puede ser igual a un número entero, $2\pi$ radianes no es exactamente $360^{\circ}$ .

Su lógica era la anterior, más o menos las formalidades matemáticas que yo pudiera haber omitido debido a mi propia falta de experiencia.

¿Es correcta la lógica anterior?

Actualización: Esta es una actualización muy tardía, y la hago para no tergiversar el nivel de la enseñanza de las matemáticas en mi sistema educativo. Hablé con mi profesor después, y estaba simplificando demasiado las cosas para que la gente no se limitara a usar $\pi=3.14$ en las conversiones entre grados y radianes y, de hecho, pasaban al modo radianes en su calculadora cuando procedía. En esencia, quería decir $2\times3.14 \ne 2\pi^R.$

Answer 1

¡Tu profesor se equivoca! El punto clave es que $360^\circ$ no es simplemente un número entero, sino un número entero junto con un unidad es decir, "grados". Es decir, no es cierto que $2\pi=360$ (de hecho, esto es obviamente falso, ya que $\pi<4$ así que $2\pi<8$ ). Más bien, es cierto que $$2\pi\text{ radians }=360\text{ degrees.}$$ Esto es similar a cómo $1$ pie es $12$ pulgadas, o $1$ milla es $5280$ los pies. En este caso, sin embargo, la relación entre las unidades "radianes" y "grados" no es sólo una simple relación entera como $12$ ou $5280$ ¡sino un número irracional! De hecho, $1$ es igual a $\frac{180}{\pi}$ grados.

(De hecho, en matemáticas avanzadas, es habitual considerar que los radianes no son unidades, sino simples números). Si se adopta esta convención, el término "grado" no es más que una abreviatura del número $\frac{\pi}{180}$ . Es decir, " $360$ grados" significa $360\cdot \frac{\pi}{180}=2\pi$ .)

Answer 2

Tu profesor razonó incorrectamente.

Si su argumento fuera correcto, se podría argumentar de la siguiente manera:

1. $\pi$ es irracional.
2. $2$ mitades del círculo forman un círculo.
3. Dado que ningún múltiplo de $\pi$ puede ser un número entero, $2\pi$ radianes no es igual a $2$ mitades del círculo.

Esto es claramente erróneo porque dos mitades forman el círculo entero.

Definimos, aunque de forma un tanto arbitraria, que $1$ grado es sólo un 360º del ángulo total del círculo, es decir $1^\circ =\frac{\text{total angle of circle}}{360}$ . Ahora bien, como "el ángulo total de un círculo" en radianes es $2\pi$ obtenemos que $1^\circ = \frac{2\pi}{360}$ y multiplicando ambos lados por $360$ obtenemos que $360^\circ = 2\pi$ .

Answer 3

La unidad de grado se define como dos pi dividido por 360, de ahí el comentario de Steamyroot. El grado unitario es un número irracional en radianes.

Answer 4

Sus profesores afirman que la irracionalidad del número $2\pi$ significa $360$ grados y $2\pi$ radianes es falso. Son lo mismo debido a la forma en que definimos el radián. Que un número sea irracional no significa que no exista perfectamente. La afirmación es como decir $\pi$ no es perfectamente la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo porque es irracional y, por tanto, no puede representarse con decimales ni fracciones. Simplemente contradice la definición.